概率互模拟

如果观察者只区分等价类，那么进入同一类内部哪个具体状态不重要，但到每个可观察类的概率必须相同。互模拟持续要求类内状态的未来也保持这种一致，而不仅仅是当前标签一样。

这就是可以安全压缩状态空间的依据：合并后每一步对可观察行为的概率都保持，后续多步性质才能继续成立。

不同原状态概率仍能匹配 ​

设 $u,v$ 都是标记 good 的吸收状态，$w$ 是标记 bad 的吸收状态；$s,t$ 都标记 start。转移为

取三个类 $\{s,t\}$、$\{u,v\}$、$\{w\}$。从 $s,t$ 到 good 类的概率都为 $0.5$，到 bad 类也都为 $0.5$；$u,v$ 各以概率一留在 good 类。因此这是概率互模拟，虽然 $P(s,u)\ne P(t,u)$。

若把 $t$ 到 $u,v,w$ 的概率改成 $0.1,0.5,0.4$，边的支撑完全不变，普通无概率图仍一样，但“下一步进入 good 的概率至少 $0.55$”能区分 $t$ 与 $s$。概率互模拟因此失败。

分割细化怎样运行 ​

先按标签分组。对当前分割的每个类 $C$，计算每个状态的总概率 $P(s,C)$，以这些值组成向量；同一标签组中向量不同的状态必须拆开。重复直到没有拆分。

例中先有 start、good、bad 三组，$s,t$ 的向量都为 $(0,0.5,0.5)$，所以立即稳定。修改后的向量分别为 $(0,0.5,0.5)$ 和 $(0,0.6,0.4)$，第一轮就拆开它们。若底层 good 状态未来不同，先拆 good 组还可能引发上一层 start 再拆，必须迭代。

有限 $|S|=n$ 时至多发生 $n-1$ 次严格分割增长。稠密矩阵下朴素每轮求和并分组用多项式时间；概率为有理数时须精确比较，同时计入位运算成本，不能用任意浮点容差替代数学相等。

商链保留由标签定义的类闭事件的多步概率。一步保持可直接从定义得到，固定步数的保持由矩阵乘法归纳；对“最终到达某类”的概率，再取有限步可达概率的单调极限。

互模拟通常比只比较最终输出分布或单条轨迹统计更强。若加入非确定动作选择，就要明确如何匹配动作、调度者及分布，不能继续只用一张转移矩阵的公式；连续状态还要将等价类求和改成合适的可测闭事件条件。