二阶点椭圆曲线族的高度下降

分母很大的有理数不一定在实数轴上离原点很远。例如 $1/1000$ 很小，却需要较长的整数描述。高度同时记录分子和分母的大小，因此适合控制有理点搜索；仅用实数坐标的绝对值无法做到这一点。

倍点公式的分子分母都是四次齐次式，提示倍点会把高度大致提升到四次方。真正的困难是约分：两个巨大整数可能有巨大公因数，约分后反而很小。式(3)的下界靠逐素数证明公因数最多为 $4n^4$，把这一风险控制在仅依赖曲线的常数内。

有限倍点商允许把任意点写成 $P=R_i+2Q$。先减去有限名单中的一个代表，再反向“除以二”，高度在足够大时就严格下降。高度是正整数，且每个有界高度区间只容纳有限多个点，故下降不能无限进行。这两个事实共同把有限商的信息变成有限生成。

左图画的是任意假设反例满足的不等式，不声称曲线上真有这些高点；阈值外上界低于原高度。右图的三个整数来自实际点，但无限阶仍由对所有后续倍点成立的增长界证明。

一个可以立即核验的无限阶点 ​

在 $E_5:y^2=x^3-25x$ 上，点

满足 $5625/64=15625/64-10000/64$，所以确实在曲线上。其高度为 $25$，并且

由式(6)，$P$ 有无限阶。第一次倍点的横坐标为 $1681/144$，高度为 $1681$；但无限阶结论来自对每次倍点都适用的严格增长界，不是仅仅发现几个不同的点。

$E_1$ 的下降可以做到高度二 ​

对 $E_1:y^2=x^3-x$，设四个点 $O,T_0=(0,0),T_{+}=(1,0),T_{-}=(-1,0)$ 已被证明构成完整的模二陪集代表。它们的平移横坐标分别为

把这些式子写成射影整数对，便得到 $H(P+T)\le 2H(P)$，特殊输入映到 $O$ 时也成立。因此从 $P=T+2Q$ 可得

只要 $H(P)>2$，就有 $H(Q)<H(P)$。高度不超过二的有限横坐标是

代入 $x^3-x$，依次得到 $-6,0,3/8,0,-3/8,0,6$。负数不可能是有理数平方，$3/8$ 和 $6$ 也因某个素因子指数为奇数而不是平方。因此小高度点恰为这四个点；严格下降随即排除所有其他有理点。

本段把“已经证明四点代表全部陪集”明确作为输入。有限商的大小等于四，单独不能证明指定的四点互异模二；完整终点会用两侧平方类补上这个检查。

为什么两个有限条件缺一不可 ​

有理数加法群满足 $\mathbb{Q}/2\mathbb{Q}=0$，却不有限生成：有限多个分母的最小公倍数无法产生带有新素数分母的有理数。因此“倍点商有限”本身不够，必须找到与群运算相容的下降量。

另一方面，只在一个很大的分子分母盒子里搜索仍不能穷尽椭圆曲线的有理点。只有先证明盒子外的点能够下降到盒子内，有限枚举才具有全局意义。式(5)需要一组真正完整的陪集代表；把尚未确认有理可解的四次方程候选当成实际代表，会破坏这个前提。

$n=0$ 时曲线奇异，且式(3)的常数无意义，不能套用本页。负整数参数可先换成 $|n|$；有理参数可经坐标缩放研究，但高度和常数必须随模型重新计算。本文的常数不假设模型极小，也不声称已经优化。

有界高度的有理点为什么有限 ​

若 $H(P)\le B$，有限横坐标的原始整数对满足 $|u|\le B$、$1\le v\le B$。这样的对最多 $(2B+1)B$ 个；对每个横坐标，方程 $y^2=x^3-n^{2}x$ 最多给两个有理纵坐标，再加 $O$，故点数有限。

这是一个可执行的枚举：先约分并去重，再判断有理数 $q\ge 0$ 的既约分子、分母是否分别为整数平方。必须用整数平方根作精确判断，不能把浮点近似平方当成有理点证书。

倍点下界：逐素数限制约分 ​

由弦切线公式，倍点的射影横坐标为

这对齐次式也处理 $O$ 和全部二阶点：此时 $G=0,F\ne 0$，约分后得到 $[1:0]$。因为 $n>0$，对任一非零实整数对 $(u,v)$ 都有 $F>0$，不存在同时为零的问题。

设 $g=gcd(F,G)>0$。我们用素因子赋值理路p-adic 赋值与绝对值p-adic valuation and absolute value · p进赋值与绝对值用有理数中素数因子的指数定义距离，使模更高素数幂相等表示更加接近。证明

若素数 $p\mid v$，互素性给 $p\nmid u$，所以 $p\nmid F$。以下只需看 $v$ 为 $p$-进单位的情形。令 $r=v_p(u)$、$s=v_p(n)$；$u=0$ 的点单独给 $g=n^4$，可先排除。

若 $r\ne s$，$u^2+n^2{v}^2$ 的两项赋值不同，故 $v_p(F)=4min(r,s)\le 4s$。因此无论分母怎样相消，公因子的指数都不超过 $4s$。

若 $r=s$，写 $u=p^{s}U,n=p^{s}N$，其中 $U,N,v$ 为单位。对奇素数，$U^2+N^2{v}^2$ 与 $U^2-N^2{v}^2$ 不可能同时被 $p$ 整除。如果前者不整除，$v_p(F)=4s$；如果前者整除，后者为单位，$v_p(G)=3s$。两种情况都给 $v_p(g)\le 4s$。

对 $p=2$ 且 $r=s$，两个单位的平方模八都为一，所以 $v_2(U^2+N^2{v}^2)=1$，从而 $v_2(F)=4s+2$。因此 $v_2(g)\le 4s+2$。这些局部上界合在一起便是式(10)；$O$ 的整数对 $(1,0)$ 则直接给 $g=1$。

由于 $n\ge 1$，有 $F\ge max(|u|,|v|{)}^4=H(P{)}^4$，故

上界不需要控制约分：直接估计 $F\le (n^2+1{)}^{2}H(P{)}^4$、$|G|\le 4(n^2+1)H(P{)}^4$，并用 $n^2+1\ge 2$，便得到式(3)的上界。这也给出 $h(2P)=4h(P)+O_n(1)$ 的明确含义。

成对加法界：避免逐个纵坐标估计 ​

先看两个既约射影数 $[a:b]$、$[c:d]$。它们的对称组合为

这三个整数的最大公因数为一：若某素数同时整除 $ac$ 与 $bd$，两组原始性迫使它只落在交叉的两个因子上，这时 $ad+bc$ 必为单位。并且

证明这个实数界，只需分别把两组坐标除以各自最大值。若两个绝对值为一的坐标在同一位置，$ac$ 或 $bd$ 的绝对值就是一。若在交叉位置，可设 $|a|=|d|=1$；当 $|b|$ 或 $|c|$ 至少为二分之一时已有结论，否则 $|ad+bc|\ge 1-|bc|>3/4$。另一个交叉位置同理。

现写 $x(P)=[u:v]$、$x(R)=[r:s]$。当两点有限且横坐标不同时，加法公式把 $x(P+R),x(P-R)$ 的乘积与和整理为一个对称射影三元组

例如仿射形式给乘积 $(x(P)x(R)+n^2{)}^2/(x(P)-x(R){)}^2$、和 $2(x(P)x(R)-n^2)(x(P)+x(R))/(x(P)-x(R){)}^2$；代入弦切线斜率、用两个曲线方程消去 $y(P{)}^2,y(R{)}^2$ 即得。它同时记录两个加法输出，避免单独放大纵坐标的分子分母。

由式(11)，两个输出高度的乘积至多为该三元组高度的两倍；约分只会降低高度。每个 $W_j$ 的绝对值至多 $2(n^2+1{)}^{2}H(P{)}^{2}H(R{)}^2$，所以得到式(4)。若 $P=\pm R$，两个输出中一个为 $O$、另一个为 $\pm 2P$，直接用式(3)上界即可。涉及 $O$ 时，左边是另一个点高度的平方，也满足式(4)。因此没有把相同横坐标藏在分母非零假设之外。

有限生成的严格下降证明 ​

取式(5)的完整陪集代表，任意 $P$ 可写成 $P=R_i+2Q$。式(3)和式(4)给

第二步只用了另一个加法输出的高度至少为一。若 $H(P)>\sqrt{K}$，则 $H(Q)\le K^{1/4}H(P{)}^{1/2}<H(P)$。

令 $\mathrm{\Gamma }$ 为所有高度不超过 $B$ 的点所生成的子群。这个生成集合有限，并且包含每个 $R_i$，因为 $B\ge M$。假设存在 $P\notin \mathrm{\Gamma }$，在所有这样的点中取高度最小者。其高度必大于 $B$，于是可找到更低高度的 $Q$；极小性迫使 $Q\in \mathrm{\Gamma }$，又因 $R_i\in \mathrm{\Gamma }$，得到 $P=R_i+2Q\in \mathrm{\Gamma }$，矛盾。因此 $\mathrm{\Gamma }=E_n(\mathbb{Q})$。

现在才能使用有限生成阿贝尔群结构定理理路有限生成阿贝尔群结构定理Structure theorem for finitely generated abelian groups每个有限生成阿贝尔群唯一分解为自由部分与有限循环素幂部分。，把该群分解为有限挠子群与有限秩自由部分。有限生成的存在证明与一套必能找出所有陪集代表、再删去冗余生成元的高效算法是不同层次；本页实际给出的有效终点是：完整代表一旦有证书，后续高度阈值和有限生成集合就可复算。

严格增长怎样证明无限阶 ​

若 $H(P{)}^3>4n^4$，式(3)给 $H(2P)>H(P)$。新高度更大，仍满足同一阈值，所以 $H(2^{j}P)$ 对 $j\ge 0$ 严格递增。这些点必两两不同，而有限阶点的倍点序列只能取有限多个值，矛盾。由此得到式(6)，无需预先知道挠子群的完整分类。