椭圆曲线同源

二同源把 $P$ 与 $P+T$ 识别成同一个点。它不是任意合并一对输入：每一条非空纤维都是同一个二阶子群的陪集，因而这种识别与加法相容。对偶同源又做一次二对一识别；两步合起来是倍点，而不是恢复原点的逆映射。

由过 $T$ 和 $P=(x,y)$ 的直线，旧群律公式直接给

令 $\tau (P)=P+T$，则 ${\tau }^2(P)=P$。横坐标组合 $x+b/x+a$ 和纵坐标组合 $y-by/x^2$ 都在 $\tau$ 下不变；它们正是式(3)的两个输出。因此二同源的公式来自寻找“加上 $T$ 后仍不变的坐标”。

有理点问题还多了一层限制。目标点的几何原像总存在，但求原像时可能要开平方，平方根未必属于原域。二同源下降理路二同源下降2-isogeny descent · 椭圆曲线平方类下降用平方类记录有理二同源的像，将无限有理点问题压缩到有限组四次方程，并精确核算两个同源商到倍点商的核修正。会把这项障碍记录为平方类，而不是把几何满射误当作有理点满射。

图中的每个左框是一整条两点纤维，箭头只表示对应映射。第一同源的第三行需要二次域中的输入；对偶把 $(2,\pm 4)$ 都送到有理二阶点 $(1,0)$。两步复合是倍点，不能把两张图读成互逆。

两条有理曲线之间的核点与非像点 ​

取 $a=0,b=-1$，得到

$E_1$ 上的 $O,(0,0),(1,0),(-1,0)$ 都是有理点。前两个映到 $O^{\prime }$，后两个映到 $T^{\prime }$。目标上的 $(2,4)$ 满足 $4^2=2^3+4\cdot 2$，且

但 $(2,4)$ 不在 $\varphi (E_1(\mathbb{Q}))$ 中：式(3)要求非零输出横坐标是 $(y/x{)}^2$，而 $2$ 不是有理数平方。在 $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ 上则能找到两原像

代回式(3)都得到 $(2,4)$，两点恰相差 $T$。这给出同一个目标点在不同底域上的实际区别。

次数不总等于不同核点数 ​

在 ${\mathbb{F}}_5$ 上仍取 $E:y^2=x^3-x$。Frobenius态射

是定义在 ${\mathbb{F}}_5$ 上的同源，次数为五，却只有一个几何核点 $O$。因为 $Z^5=0$ 当且仅当 $Z=0$，不存在其他点映到 $O$。它是纯不可分的：坐标五次幂的形式导数为零。MIT同源核定理将这种现象精确写为“核点数等于可分次数”。

另一方面，$\pi$ 在每个 ${\mathbb{F}}_5$-有理点上都表现为恒等。有限点集上看到的函数甚至不能单独恢复曲线态射的次数；次数是函数域扩张的信息。

非奇异性和符号都要保留 ​

若 $b=0$，曲线 $y^2=x^2(x+a)$ 在 $(0,0)$ 奇异；式(3)约分后变成 $(x+a,y)$，不再具有两个不同核点的合同。若 $a^2=4b$，另一重根同样破坏光滑性。特征二时，本页使用的二阶逆元、开平方分支和缩放也失效。

把式(3)的纵坐标整体换成相反数仍可得到一个同源，但若只改这一侧、保持式(4)不动，复合就变成 $[-2]$。相同核和相同次数只确定商映射到目标同构的程度，不能据此略过复合的坐标核对。

输出为何落在目标曲线 ​

写 $X=x+a+b/x$、$Y=y(1-b/x^2)$。由 $y^2/x^2=X$，逐步整理得

对 $E^{\prime }$ 再作同一种构造，系数变成 $4a,16b$，暂时得到曲线 $y_2^2=x_2(x_2^2+4a{x}_2+16b)$。令 $x=x_2/4,y=y_2/8$ 才回到 $E$，这就推出式(4)。

分母为零处怎样延拓 ​

在 $O$ 附近取射影图表 $Y=1$，令 $\xi =X/Y,\zeta =Z/Y$。曲线方程为

$1-a{\xi }^2-b\xi \zeta$ 在原点为一，因而是局部可逆元，故 $\zeta$ 的消失阶为三、$\xi$ 为局部参数。于是仿射函数 $x=\xi /\zeta$、$y=1/\zeta$ 分别有二阶、三阶极点。式(3)的输出 $X,Y$ 也分别有二阶、三阶极点；改写射影坐标为 $[X/Y:1:1/Y]$ 后，各项在 $O$ 正则，值为 $[0:1:0]$。

在 $T$ 附近，$b+ax+x^2$ 可逆，而 $x=y^2/(b+ax+x^2)$，所以 $y$ 是局部参数、$x$ 消失二阶。式(3)的 $X,Y$ 再次分别有二阶、三阶极点，同样延为 $O^{\prime }$。其他仿射点的分母非零。因此对两个异常输入赋 $O^{\prime }$ 并非随意约定，而是局部公式唯一迫使的值。对偶同理。

群律和次数分别由什么保证 ​

采用开篇的保零元态射定理后，$\varphi$ 保持群律。它与旧椭圆曲线页的除子类证明相接：点 $P$ 对应次数零除子类 $[P]-[O]$；有限曲线态射把除子向前推，主除子仍为主除子，因为函数域范数的零极点重数恰按纤维相加。因此向前推诱导除子类群的同态，并把 $[P]-[O]$ 送成 $[\varphi (P)]-[O^{\prime }]$。这说明高级定理承担的群律步骤；坐标落在目标曲线上本身还没有证明它。

次数可以独立用函数域算清。在 $k(E)$ 中，$x$ 满足

第二式是函数域中的恒等式，分母不是零函数；它不要求每个求值点都能直接代入。于是 $[k(E):k(X,Y)]\le 2$。非平凡自同构 $\tau$ 固定 $X,Y$，却把 $x$ 送到 $b/x\ne x$，所以次数不是一，恰为二。特征不为二的二次扩张可分。式(7)识别 $k(X,Y)$ 为目标函数域，得 $\mathrm{deg}\varphi =2$。

几何纤维也能直接求。若目标点 $(X,Y)$ 满足 $X\ne 0$，在代数闭包中取 $s^2=X$，令

目标方程给 $(X-a{)}^2-(Y/s{)}^2=4b\ne 0$，所以 $x\ne 0$；由二次方程即知 $(x,y)\in E$ 且映回原点。把 $s$ 换成 $-s$ 得到另一个原像，两者相差 $T$。目标 $T^{\prime }$ 的原像是 $(x,0)$，其中 $x^2+ax+b=0$；两根不同且非零。目标 $O^{\prime }$ 的原像则恰是 $O,T$。

复合为什么恰为倍点 ​

对 $P=(x,y)$ 且 $y\ne 0$，弦切线斜率与倍点为

把式(3)代入式(4)，横坐标立即约成式(10)。纵坐标通分并以 $y^2=x^3+a{x}^2+bx$ 消去平方后，两边共同为

因此 $\hat{\varphi }\varphi =[2]$ 在这一开集上成立，正则延拓使它在整个曲线上成立；$O$ 和全部 $y=0$ 的点也可由特殊分支直接检查。再利用 $\varphi$ 的几何满射性和群同态性，对 $R=\varphi (P)$ 有

得到另一侧复合。这里真正检查了目标坐标和符号，没有只用核的点数代替映射相等。

实现式(3)–(4)时，先处理零元及横坐标零，再进行常数次域运算。若底域为有理数，分子分母位数、最大公因数约分和求平方根的成本需要另计。下一步的平方类下降理路二同源下降2-isogeny descent · 椭圆曲线平方类下降用平方类记录有理二同源的像，将无限有理点问题压缩到有限组四次方程，并精确核算两个同源商到倍点商的核修正。处理有理原像是否存在，高度下降理路二阶点椭圆曲线族的高度下降Height descent for elliptic curves with rational two-torsion · 椭圆曲线有理高度下降对 y²=x³−n²x 建立带显式常数的倍点和加法高度界，以有限倍点商证明有限生成，并将小高度穷尽与非挠点证书闭合。则把有限群商推进为全体有理点的有限生成或穷尽证明。