椭圆曲线同源 | Codeboy's Blog

形式陈述

设 $(E,O)$ 、 $(E',O')$ 是同一域 $k$ 上的椭圆曲线。同源是一个定义在 $k$ 上的非恒定曲线态射 $\phi:E\to E'$ ，并且在几何点上保持群运算：

\phi(P+Q)=\phi(P)+\phi(Q).

因此它特别是一个群同态，满足 $\phi(O)=O'$ 。“态射”要求局部坐标由正则函数给出；仅给两个抽象点群之间的同态还不够。本页不把恒为 $O'$ 的零映射叫作同源。

椭圆曲线有一条有用的标准定理：非恒定有理映射只要把 $O$ 送到 $O'$ ，就自动延为曲线态射并保持群律。光滑射影曲线上的延拓与保零元的群律定理在参考资料中给出；后文说明其机制，并把实际二同源的异常点、次数和复合逐项核验。同源在代数闭包上的点是满射，限制到 $k$ -有理点时却未必满射。

同源将目标曲线的有理函数拉回源曲线，给域嵌入 $\phi^*:k(E')\hookrightarrow k(E)$ 。它的次数定义为有限扩张次数

\deg\phi=[k(E):\phi^*k(E')]. \tag{1}

若该扩张可分，则几何核的不同点数等于次数。一般情形核点数只等于可分次数；把一个重根按次数计数，与数不同的几何点不是同一件事。

一个完整可计算的二同源

下面固定 $\operatorname{char}k\ne2$ ，取 $a,b\in k$ 且

b\ne0,\qquad B:=a^2-4b\ne0.

两条曲线及其零元为

E:y^2=x(x^2+ax+b),\qquad E':Y^2=X(X^2-2aX+B),\qquad O=O'=[0:1:0]. \tag{2}

第一条三次式无重根正是 $bB\ne0$ ；第二条的对应条件为 $B\ne0$ 和 $(-2a)^2-4B=16b\ne0$ 。所以两条都是光滑椭圆曲线。记 $T=(0,0)\in E$ 、 $T'=(0,0)\in E'$ ，二者都为二阶点。

定义

\phi(x,y)=\left(x+a+\frac bx,\ y\left(1-\frac b{x^2}\right)\right) =\left(\frac{y^2}{x^2},\ \frac{y(x^2-b)}{x^2}\right) \quad(x\ne0), \tag{3}

并设 $\phi(O)=\phi(T)=O'$ 。反方向定义

\widehat\phi(X,Y)= \left(\frac{X-2a+B/X}{4},\ \frac{Y(1-B/X^2)}8\right) \quad(X\ne0), \tag{4}

并设 $\widehat\phi(O')=\widehat\phi(T')=O$ 。它们都是次数二的可分同源，且

\ker\phi=\{O,T\},\qquad \ker\widehat\phi=\{O',T'\},\qquad \widehat\phi\circ\phi=[2]_E,\qquad \phi\circ\widehat\phi=[2]_{E'}. \tag{5}

这里 $[2](P)=P+P$ 。式(4)中的 $1/4$ 、 $1/8$ 是回到原坐标模型所需的缩放，不能省去。

直觉

二同源把 $P$ 与 $P+T$ 识别成同一个点。它不是任意合并一对输入：每一条非空纤维都是同一个二阶子群的陪集，因而这种识别与加法相容。对偶同源又做一次二对一识别；两步合起来是倍点，而不是恢复原点的逆映射。

由过 $T$ 和 $P=(x,y)$ 的直线，旧群律公式直接给

P+T=\left(\frac bx,-\frac{by}{x^2}\right). \tag{6}

令 $\tau(P)=P+T$ ，则 $\tau^2(P)=P$ 。横坐标组合 $x+b/x+a$ 和纵坐标组合 $y-by/x^2$ 都在 $\tau$ 下不变；它们正是式(3)的两个输出。因此二同源的公式来自寻找“加上 $T$ 后仍不变的坐标”。

有理点问题还多了一层限制。目标点的几何原像总存在，但求原像时可能要开平方，平方根未必属于原域。二同源下降会把这项障碍记录为平方类，而不是把几何满射误当作有理点满射。

图中的每个左框是一整条两点纤维，箭头只表示对应映射。第一同源的第三行需要二次域中的输入；对偶把 $(2,±4)$ 都送到有理二阶点 $(1,0)$ 。两步复合是倍点，不能把两张图读成互逆。

例子与边界

两条有理曲线之间的核点与非像点

取 $a=0,b=-1$ ，得到

E_1:y^2=x^3-x,\qquad E_1':Y^2=X^3+4X.

$E_1$ 上的 $O,(0,0),(1,0),(-1,0)$ 都是有理点。前两个映到 $O'$ ，后两个映到 $T'$ 。目标上的 $(2,4)$ 满足 $4^2=2^3+4\cdot2$ ，且

\widehat\phi(2,4)=\left(\frac{2+4/2}{4},\frac{4(1-4/2^2)}8\right)=(1,0).

但 $(2,4)$ 不在 $\phi(E_1(\mathbb Q))$ 中：式(3)要求非零输出横坐标是 $(y/x)^2$ ，而 $2$ 不是有理数平方。在 $\mathbb Q(\sqrt2)$ 上则能找到两原像

(1+\sqrt2,\ 2+\sqrt2),\qquad (1-\sqrt2,\ 2-\sqrt2).

代回式(3)都得到 $(2,4)$ ，两点恰相差 $T$ 。这给出同一个目标点在不同底域上的实际区别。

次数不总等于不同核点数

在 $\mathbb F_5$ 上仍取 $E:y^2=x^3-x$ 。Frobenius态射

\pi:[X:Y:Z]\longmapsto[X^5:Y^5:Z^5]

是定义在 $\mathbb F_5$ 上的同源，次数为五，却只有一个几何核点 $O$ 。因为 $Z^5=0$ 当且仅当 $Z=0$ ，不存在其他点映到 $O$ 。它是纯不可分的：坐标五次幂的形式导数为零。MIT同源核定理将这种现象精确写为“核点数等于可分次数”。

另一方面， $\pi$ 在每个 $\mathbb F_5$ -有理点上都表现为恒等。有限点集上看到的函数甚至不能单独恢复曲线态射的次数；次数是函数域扩张的信息。

非奇异性和符号都要保留

若 $b=0$ ，曲线 $y^2=x^2(x+a)$ 在 $(0,0)$ 奇异；式(3)约分后变成 $(x+a,y)$ ，不再具有两个不同核点的合同。若 $a^2=4b$ ，另一重根同样破坏光滑性。特征二时，本页使用的二阶逆元、开平方分支和缩放也失效。

把式(3)的纵坐标整体换成相反数仍可得到一个同源，但若只改这一侧、保持式(4)不动，复合就变成 $[-2]$ 。相同核和相同次数只确定商映射到目标同构的程度，不能据此略过复合的坐标核对。

推论与应用

输出为何落在目标曲线

写 $X=x+a+b/x$ 、 $Y=y(1-b/x^2)$ 。由 $y^2/x^2=X$ ，逐步整理得

\begin{aligned} Y^2 &=\frac{y^2}{x^2}\left(x-\frac bx\right)^2\\ &=X\left[\left(x+\frac bx\right)^2-4b\right]\\ &=X\bigl[(X-a)^2-4b\bigr] =X(X^2-2aX+B). \end{aligned} \tag{7}

对 $E'$ 再作同一种构造，系数变成 $4a,16b$ ，暂时得到曲线 $y_2^2=x_2(x_2^2+4ax_2+16b)$ 。令 $x=x_2/4,y=y_2/8$ 才回到 $E$ ，这就推出式(4)。

分母为零处怎样延拓

在 $O$ 附近取射影图表 $Y=1$ ，令 $\xi=X/Y,\zeta=Z/Y$ 。曲线方程为

\zeta=\xi^3+a\xi^2\zeta+b\xi\zeta^2.

$1-a\xi^2-b\xi\zeta$ 在原点为一，因而是局部可逆元，故 $\zeta$ 的消失阶为三、 $\xi$ 为局部参数。于是仿射函数 $x=\xi/\zeta$ 、 $y=1/\zeta$ 分别有二阶、三阶极点。式(3)的输出 $X,Y$ 也分别有二阶、三阶极点；改写射影坐标为 $[X/Y:1:1/Y]$ 后，各项在 $O$ 正则，值为 $[0:1:0]$ 。

在 $T$ 附近， $b+ax+x^2$ 可逆，而 $x=y^2/(b+ax+x^2)$ ，所以 $y$ 是局部参数、 $x$ 消失二阶。式(3)的 $X,Y$ 再次分别有二阶、三阶极点，同样延为 $O'$ 。其他仿射点的分母非零。因此对两个异常输入赋 $O'$ 并非随意约定，而是局部公式唯一迫使的值。对偶同理。

群律和次数分别由什么保证

采用开篇的保零元态射定理后， $\phi$ 保持群律。它与旧椭圆曲线页的除子类证明相接：点 $P$ 对应次数零除子类 $[P]-[O]$ ；有限曲线态射把除子向前推，主除子仍为主除子，因为函数域范数的零极点重数恰按纤维相加。因此向前推诱导除子类群的同态，并把 $[P]-[O]$ 送成 $[\phi(P)]-[O']$ 。这说明高级定理承担的群律步骤；坐标落在目标曲线上本身还没有证明它。

次数可以独立用函数域算清。在 $k(E)$ 中， $x$ 满足

x^2+(a-X)x+b=0,\qquad y=\frac{Yx^2}{x^2-b}. \tag{8}

第二式是函数域中的恒等式，分母不是零函数；它不要求每个求值点都能直接代入。于是 $[k(E):k(X,Y)]\le2$ 。非平凡自同构 $\tau$ 固定 $X,Y$ ，却把 $x$ 送到 $b/x\ne x$ ，所以次数不是一，恰为二。特征不为二的二次扩张可分。式(7)识别 $k(X,Y)$ 为目标函数域，得 $\deg\phi=2$ 。

几何纤维也能直接求。若目标点 $(X,Y)$ 满足 $X\ne0$ ，在代数闭包中取 $s^2=X$ ，令

x=\frac{X-a+Y/s}{2},\qquad y=sx. \tag{9}

目标方程给 $(X-a)^2-(Y/s)^2=4b\ne0$ ，所以 $x\ne0$ ；由二次方程即知 $(x,y)\in E$ 且映回原点。把 $s$ 换成 $-s$ 得到另一个原像，两者相差 $T$ 。目标 $T'$ 的原像是 $(x,0)$ ，其中 $x^2+ax+b=0$ ；两根不同且非零。目标 $O'$ 的原像则恰是 $O,T$ 。

复合为什么恰为倍点

对 $P=(x,y)$ 且 $y\ne0$ ，弦切线斜率与倍点为

m=\frac{3x^2+2ax+b}{2y},\qquad x(2P)=m^2-a-2x=\frac{(x^2-b)^2}{4y^2},\qquad y(2P)=m(x-x(2P))-y. \tag{10}

把式(3)代入式(4)，横坐标立即约成式(10)。纵坐标通分并以 $y^2=x^3+ax^2+bx$ 消去平方后，两边共同为

\frac{x^6+2ax^5+5bx^4-5b^2x^2-2ab^2x-b^3}{8y^3}. \tag{11}

因此 $\widehat\phi\phi=[2]$ 在这一开集上成立，正则延拓使它在整个曲线上成立； $O$ 和全部 $y=0$ 的点也可由特殊分支直接检查。再利用 $\phi$ 的几何满射性和群同态性，对 $R=\phi(P)$ 有

\phi\widehat\phi(R)=\phi\widehat\phi\phi(P)=\phi(2P)=2R,

得到另一侧复合。这里真正检查了目标坐标和符号，没有只用核的点数代替映射相等。

实现式(3)–(4)时，先处理零元及横坐标零，再进行常数次域运算。若底域为有理数，分子分母位数、最大公因数约分和求平方根的成本需要另计。下一步的平方类下降处理有理原像是否存在，高度下降则把有限群商推进为全体有理点的有限生成或穷尽证明。

参考资料

Andrew V. Sutherland，MIT18.783 Lecture4，2023，§§4.1–4.2，Theorems4.15、4.17及Definitions4.18、4.20：曲线态射、保零元刻画和同源的定义；Lecture5，§5.1 Theorem5.8：几何核与可分次数。
James Newton（据Victor Flynn讲义修订），Oxford C3.7 Elliptic Curves 2025/26，§7，印页37–39，Lemmas7.1–7.3：二同源、对偶缩放及两原像。本文补出异常点延拓、函数域次数与复合的坐标证书。

形式陈述 ​

一个完整可计算的二同源 ​

两条有理曲线之间的核点与非像点 ​

次数不总等于不同核点数 ​

非奇异性和符号都要保留 ​

输出为何落在目标曲线 ​

分母为零处怎样延拓 ​

群律和次数分别由什么保证 ​

复合为什么恰为倍点 ​

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