无限 Galois 对应

一个代数元素只带来有限多个共轭根；有限多个元素及其共轭根生成有限 Galois 子扩张。因此无限扩张里的每一次有限观察，都能在某个 $E/K$ 内完成。Krull 拓扑把“所有有限观察上的一致”组织成一个整体。

这里的闭包也有具体的观察含义：

允许 $h_E$ 随 $E$ 改变；并不要求存在同一个 $h$ 同时匹配全部坐标。这正是稠密真子群能够出现的原因。固定某个元素是一个有限观察条件，故 $H$ 与 $\bar{H}$ 固定的元素完全相同。

相容的有限自同构如何粘成全局自同构 ​

任意有限集 $S\subset L$ 都包含在某个 $E\in \mathcal{E}$ 内：把 $S$ 中元素在 $K$ 上的极小多项式的全部根加入，所得分裂域有限、正规且可分。于是 $L=\bigcup _{E\in \mathcal{E}}E$。

给定相容族 $({\sigma }_E)$，对 $x\in E$ 定义 $\sigma (x)={\sigma }_E(x)$。若 $x$ 同时属于两个域，就进入它们的合成域比较，定义因相容性而无歧义。加法、乘法也都能在一个共同有限域里核验。逐坐标取逆得到相容的 $({\sigma }_E^{-1})$，故 $\sigma$ 是自同构。这证明逆极限公式的满射性；单射性来自每个元素都在某个有限域里。

每个相容等式是到有限离散空间的两个连续映射相等的条件，因而定义闭集。逆极限是有限离散紧空间之积的闭子集，由Tychonoff 定理公理库Tychonoff 定理Tychonoff theorem任意指标集上的紧空间乘积在积拓扑下仍然紧，并在一般形式下与选择公理等价。得到紧性。积空间 Hausdorff，子空间也 Hausdorff。不同自同构在某个有限坐标上不同，该坐标的两个原像便是分开它们的既开又闭邻域。逐坐标乘法与逆映射连续，所以确实得到拓扑群，而不仅是拓扑空间。

需要独立证明的嵌入延拓 ​

还需证明 $r_E$ 满射。更一般地，任意中间域 $M$ 的 $K$-嵌入 $\tau :M\to L$ 都能延拓为 $L$ 的 $K$-自同构。

把所有延拓对 $(M^{\prime },{\tau }^{\prime })$ 按定义域包含及映射延拓排序。链的并仍是域嵌入，故Zorn 引理公理库佐恩引理Zorn's lemma若偏序集中每条链都有上界，则该偏序集存在极大元。给出极大延拓。若其定义域 $M^{\prime }$ 不等于 $L$，取 $a\in L\setminus M^{\prime }$，令 $p$ 是 $a$ 在 $M^{\prime }$ 上的极小多项式，$f$ 是它在 $K$ 上的极小多项式。$p$ 整除 $f$，把系数经 ${\tau }^{\prime }$ 送入 $L$ 后，${\tau }^{\prime }(p)$ 仍整除 $f$。由于 $f$ 在 $L$ 中分裂，${\tau }^{\prime }(p)$ 有根 $b\in L$；令 $a\mapsto b$ 就延拓到 $M^{\prime }(a)$，与极大性矛盾。

这样得到 $K$-嵌入 $\sigma :L\to L$。对任意 $a\in L$，其 $K$-极小多项式的全部根构成一个有限集，$\sigma$ 单射地把这个集合映入自身，故在该集合上满射，特别有某个根映到 $a$。所以 $\sigma$ 在 $L$ 上满射，确为自同构。将初始 $\tau$ 取为 $E/K$ 的一个自同构，便得到 $r_E$ 满射。

有限域代数闭包的全部自同构 ​

取素数幂 $q$，在固定的代数闭包中记

$E_n$ 是 $X^{q^n}-X$ 的全部根组成的域，且 $L=\bigcup _{n\ge 1}{E}_n$；这里是按整除关系有向的并，$E_m\subseteq E_n$ 当且仅当 $m\mid n$。

在 $E_n$ 上，${\phi }^n=1$。若 $0<d<n$ 且 ${\phi }^d=1$，则 $E_n$ 的 $q^n$ 个元素全是次数 $q^d$ 的多项式 $X^{q^d}-X$ 的根，不可能。因此 $\phi {|}_{E_n}$ 的阶恰为 $n$，生成整个阶 $n$ 的 Galois 群。限制到 $E_m$ 就是指数模 $m$ 化简，于是

对 $a=(a_n)$，记相应自同构为 ${\phi }^a$。这个记号的定义是

它不是把一个非整数直接代入普通迭代次数，而是用相容的有限迭代定义全局作用。

整数次 Frobenius 稠密，但不是全部自同构 ​

整数 $k$ 对应 $(kmodn{)}_n$，给出单射 $\mathbb{Z}\hookrightarrow \hat{\mathbb{Z}}$：同时被所有正整数整除的整数只能是零。其像恰为 $⟨\phi ⟩$。

给定有限多个坐标 $n_1,\dots ,n_r$，取 $N=\mathrm{lcm}(n_1,\dots ,n_r)$。任意相容族在这些坐标上的取值，都等于整数代表元 $k$（取 $a_N$ 的任意代表）在这些坐标上的值。因此每个非空基本开集都遇到整数，$\mathbb{Z}$ 在 $\hat{\mathbb{Z}}$ 中稠密。

下面用一个实际相容族证明这个稠密子群是真子群。写 $n=2^{s}d$，其中 $d$ 为奇数，由中国剩余定理公理库整数中国剩余定理Chinese remainder theorem for integers用最大公因数判定一般联立同余的相容性，并构造模最小公倍数唯一的解。唯一规定

模数为 $1$ 时相应条件为空。若 $m\mid n$，两条件约化到 $m$ 仍是定义 $b_m$ 的两条件，故 $(b_n)$ 相容。若它来自整数 $k$，则 $k$ 被所有 $2^s$ 整除，迫使 $k=0$；但 $b_3=1$ 又要求 $k\equiv 1(\mathrm{mod}3)$，矛盾。

几个坐标可以直接复算：

例如 $16mod12=4$、$4mod6=4$、$4mod3=1$。自同构 ${\phi }^b$ 在 $E_{24}$ 上是 ${\phi }^{16}$，在 $E_{12}$ 上是 ${\phi }^4$，在 $E_3$ 上是 $\phi$，却不在整个 $L$ 上等于任何整数次幂。

图只展示四个有限坐标；非整数性由上面对全部 $2$ 的幂及模 $3$ 的论证保证。有限多个坐标总能由某个整数同时匹配，所以任何有限表格本身都不能证明这个元素不是整数。

忽略闭性会在哪里破坏双射 ​

$⟨\phi ⟩$ 的不动元素必须满足 $\phi (x)=x$，即 $x^q=x$，故

两个不同子群得到同一个不动域。取两次对应时，得到的是

并不会回到抽象循环子群。有限层的循环群描述仍然正确；需要修正的是把所有有限层合起来之后的子群范围。

证明闭子群对应的两个方向 ​

先给定中间域 $F$。固定任意 $x\in L$ 的自同构集合既开又闭：取包含 $x$ 的有限 Galois 域 $E$，它是有限群中稳定子在 $r_E$ 下的原像。因此

是闭子群。

而 $L/F$ 仍然正规且可分，因为任意 $x\in L$ 的 $F$-极小多项式整除其 $K$-极小多项式，后者在 $L$ 中分裂且无重根。若 $x\notin F$，则其 $F$-极小多项式次数大于 $1$，存在不同于 $x$ 的根 $y\in L$。嵌入 $F(x)\to L$、$x\mapsto y$ 按上面的延拓论证（把基域换成 $F$）延拓为 $L/F$ 的自同构，它不固定 $x$。所以

再给定任意子群 $H$。由于 $\mathrm{Gal}(L/L^H)$ 闭且包含 $H$，它包含 $\bar{H}$。反向令 $\sigma$ 固定 $L^H$，对每个有限 Galois 域 $E$ 记 $H_E=r_E(H)$。注意

因此 $\sigma {|}_E$ 固定 $E^{H_E}$，由有限 Galois 对应公理库伽罗瓦理论基本定理Fundamental theorem of Galois theory有限伽罗瓦扩张的中间域与群的子群反序对应，并由八阶二面体群完整算出四次根分裂域的十个中间域。得到 $\sigma {|}_E\in H_E$。也就是说每个邻域 $\sigma U_E$ 都遇到 $H$，故 $\sigma \in \bar{H}$。两边合并即得闭包公式。限制到闭子群后，两映射互逆；反转包含关系直接来自固定条件。

有限中间域对应开子群 ​

若 $F/K$ 有限，取一个有限 Galois 域 $E$ 包含 $F$。令 $H=\mathrm{Gal}(L/F)$，则 $U_E\subseteq H$，所以 $H$ 是 $U_E$ 的若干开陪集的并，因而开。反之，若 $H$ 开，它包含某个 $U_E$，所以

不动域对 $K$ 有限。限制映射把 $H/U_E$ 识别为 $\mathrm{Gal}(E/F)$：任意固定 $F$ 的 $E$-自同构都能延拓为固定 $F$ 的 $L$-自同构。于是有限对应给出

这里即使 $H$ 不正规，群指数仍指左陪集数，不把陪集集合误作商群。

正规中间域对应正规闭子群 ​

逐项检查固定条件得到 $\sigma (L^H)=L^{\sigma H{\sigma }^{-1}}$，故闭子群对应的单射性说明：$H$ 正规，当且仅当每个 $\sigma \in G$ 都保持 $F=L^H$。若保持 $F$，任意 $x\in F$ 的 $K$-共轭根都能由延拓的自同构得到，故全部在 $F$ 内，$F/K$ 正规；可分性已由 $L/K$ 继承。反向也由正规性使各自同构保持 $F$ 得到。

此时 $G\to \mathrm{Gal}(F/K)$ 的核是 $H$，满射性仍由嵌入延拓保证。限制映射连续，因为有限子扩张上的有限观察拉回后仍是有限观察。由此产生的连续双射 $G/H\to \mathrm{Gal}(F/K)$ 从紧空间到 Hausdorff 空间，故为同胚。这补全了拓扑商群同构，而非只证明抽象群同构。

在有限域例子中，闭开子群 $\ker (\hat{\mathbb{Z}}\to \mathbb{Z}/d\mathbb{Z})$ 固定的域恰为 ${\mathbb{F}}_{q^d}$，商群就是 $\mathbb{Z}/d\mathbb{Z}$。这把全部有限层的循环对应放入同一个拓扑群中。