半直积

半直积保留了“每个元素用两个坐标唯一表示”的便利，却允许第二个坐标改变第一个坐标的意义。在 $G$ 中相乘时，$h$ 必须越过 $n^{\prime }$ 才能把两个 $N$ 因子放在一起；恒等式

恰好导出扭曲乘法。第一坐标中的 $\phi (h)(n^{\prime })$ 记录了调换这两个因子次序所引起的共轭变化。

唯一表示也有直接理由：若 $nh=n^{\prime }{h}^{\prime }$，则 $n^{\prime -1}n=h^{\prime }{h}^{-1}\in N\cap H$，所以两边均为单位元。$NH=G$ 负责表示存在，平凡交负责唯一，正规性负责让越过因子后仍留在 $N$ 中。

旋转与反射的计算 ​

取 $n\ge 3$、$C_n=⟨r⟩$ 和 $C_2=⟨s⟩$，令 $s$ 通过 $r\mapsto r^{-1}$ 作用。写 $(i,ϵ)$ 对应 $r^i{s}^{ϵ}$，则

第一坐标模 $n$，第二坐标模 $2$。这得到阶为 $2n$ 的二面体群 $D_{2n}$；此处下标记录群阶。例如 $n=3$ 时，$(1,1)(2,0)=(2,1)$，而 $(2,0)(1,1)=(0,1)$，两者不同。这就是 $S_3\cong C_3⋊C_2$ 的非交换性。

若改用平凡作用，乘法恢复为群直积公理库群的直积Direct product of groups在群的笛卡尔积上逐坐标运算所得的群，用来组合彼此独立的群结构。；相同因子 $C_3,C_2$ 给出 $C_6$。作用 $\phi$ 因而是构造的数据之一，决定两个坐标如何一起运算。

正规子群未必有补群 ​

加法群 $C_4=\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ 有正规子群 $N=\{0,2\}$，商群是 $C_2$，却不能写成 $N⋊C_2$：$C_4$ 唯一的阶 $2$ 子群就是 $N$，没有与它交平凡的阶 $2$ 补群。从截面的角度看，商群的非零元素只能提升为 $\overline{1}$ 或 $\overline{3}$；两者在 $C_4$ 中的阶都是 $4$，所以这样的提升无法给出从 $C_2$ 到 $C_4$ 的同态。

仿射变换 $x\mapsto ax+b$（$a\in {\mathbb{R}}^{\times }$）可记为 $(b,a)$。复合直接算出

所以实直线仿射群是 $\mathbb{R}⋊{\mathbb{R}}^{\times }$：乘数 $a$ 把平移量 $d$ 改为 $ad$。例如先平移 $d$ 再伸缩为原来的两倍，总效果是 $x\mapsto 2x+2d$；先伸缩再平移则是 $x\mapsto 2x+d$。这个差别正由第一坐标中的 $ad$ 记录。

投影 $(n,h)\mapsto h$ 的核是 $N\times \{e\}$，且 $h\mapsto (e,h)$ 给出同态截面。反过来，若群扩张 $1\to N\to G\stackrel{\pi }{\to }H\to 1$ 有同态截面 $s:H\to G$，即 $\pi \circ s={\mathrm{id}}_H$，则 $s(H)$ 与 $N$ 交平凡；每个 $g\in G$ 又能写成 $(gs(\pi (g){)}^{-1})s(\pi (g))$，第一因子属于 $N$。于是 $s(H)$ 就是补群，得到 $G\cong N⋊H$。

若两个因子 $N,H$ 都可解公理库可解群Solvable group导出列在有限步后降为平凡群的群。，则半直积也可解，因为它是正规子群 $N$ 与商群 $H$ 的扩张。前面的 $C_4$ 则说明，可解扩张也可以没有补群。

阶21群的分类公理库阶21群的分类与特征标表Groups of order 21 · 阶21非阿贝尔群特征标表从Sylow计数确定阶21群的两种同构类型，再计算非阿贝尔类型的五个共轭类、全部不可约复特征标和七点置换表示的分解。展示相同因子的不同作用怎样穷尽一个群阶：$C_7$ 上的平凡三阶作用产生 $C_{21}$，非平凡作用的两种生成元选择产生同一个非阿贝尔群。对 Abel 群扩张，Ext 函子公理库Ext 函子Ext functor · Ext groups以Hom导出量测量延拓障碍，并从提升、商群表示和Baer和完整证明Z/m被任意Abel群扩张的分类。则把前面的 $C_4$ 失败例识别为 ${\mathrm{Ext}}_{\mathbb{Z}}^1(C_2,C_2)$ 的非零类，并证明它与自身作 Baer 和后成为分裂扩张；这个加法并非中间群的直积。