Sylow 定理

Lagrange 定理公理库拉格朗日定理Lagrange's theorem有限群的阶等于子群阶与指数之积，因此子群阶必整除群阶。只说子群的阶必须整除群阶，并没有承诺每个因数都能成为子群阶。Sylow 定理针对最大的 $p$-幂因数给出存在保证；它还说明这些子群都可由共轭互相移动，并限制它们能有多少个。

若计数约束只留下候选值 $1$，这个 Sylow 子群就被所有共轭变换保持，因而正规。若有多个，它们彼此同构，却占据群中的不同位置；Sylow 定理用共轭把这些位置联系起来。

从计数得到正规子群 ​

若 $|G|=15$，则 $n_5\mid 3$ 且 $n_5\equiv 1(\mathrm{mod}5)$，只能取 $n_5=1$。同样 $n_3\mid 5$、$n_3\equiv 1(\mathrm{mod}3)$ 迫使 $n_3=1$。因而阶 $3$、$5$ 的 Sylow 子群都正规。

在 $S_3$ 中，唯一阶 $3$ 子群是 $\{e,(123),(132)\}$；三个换位各自生成一个阶 $2$ 子群，所以 $n_3=1$、$n_2=3$。每个阶 $2$ 子群都阿贝尔，却都不正规，具体说明了内部交换性不能替代全群中的唯一性。

A4 中的实际子群决定候选值 ​

$A_4$ 的阶为 $12=2^2\cdot 3$。单位元与三个双换位组成

它对共轭稳定，因为共轭只重命名置换中的符号，所以是正规 Sylow $2$-子群，$n_2=1$。另一方面，$A_4$ 有八个 $3$-循环，每个阶 $3$ 子群含两个互逆的非单位元，故 $n_3=8/2=4$。这分别满足

单靠群阶，$n_3$ 的候选值为 $1$ 或 $4$；数出八个 $3$-循环后，才确定 $A_4$ 取 $4$。同样，双换位生成的二阶子群虽然是 $2$-子群，但仍真包含于四阶的 $V_4$，所以它本身不是 Sylow 子群。

计数同余来自群作用 ​

证明的基本工具是群作用公理库群作用Group action群元素以保持单位元与乘法的方式作用于集合。。若一个有限 $p$-群 $P$ 作用在有限集合 $X$ 上，由轨道—稳定子公式公理库轨道–稳定子定理Orbit–stabilizer theorem有限群作用下元素轨道大小等于群阶除以稳定子阶。，轨道大小均为 $p$ 的幂。除不动点形成的单点轨道外，其余轨道大小均被 $p$ 整除，故

存在性的一条证明取 $X$ 为 $G$ 中所有含 $p^a$ 个元素的子集，让 $G$ 左乘作用。其元素个数是二项式系数公理库二项式系数Binomial coefficientn 元集合的 k 元子集数，记作 C(n,k)。

对 $0<i<p^a$，分子 $p^{a}m-i$ 与分母 $p^a-i$ 含相同次数的素因子 $p$，而 $p\nmid m$，所以这个整数不被 $p$ 整除。把 $X$ 分成轨道后，至少有一个轨道的大小不被 $p$ 整除。在这个轨道中选一个子集 $A$，令 $H={\mathrm{Stab}}_G(A)$；轨道—稳定子公式表明 $|H|$ 含有群阶中的整个 $p^a$ 因子。另一方面，固定 $a_0\in A$，映射 $h\mapsto h{a}_0$ 把 $H$ 单射到 $A$，故 $|H|\le p^a$。两项结合得到 $|H|=p^a$。

有了 Sylow 子群 $P$，让任意 $p$-子群 $Q$ 左乘作用于陪集集合 $G/P$。这个集合有 $m$ 个元素，$p\nmid m$，所以轨道计数保证至少一个不动陪集 $gP$。条件 $qgP=gP$ 对所有 $q\in Q$ 成立，等价于 $g^{-1}Qg\subseteq P$，也就是 $Q\subseteq gP{g}^{-1}$。若 $Q$ 本身也有 Sylow 阶，包含关系就是相等，从而得到共轭性。

计数结论可在共轭性建立后看得很清楚。固定 Sylow 子群 $P$，令它共轭作用于所有 Sylow 子群。若 $Q$ 是不动点，则 $P$ 正规化 $Q$，所以 $PQ$ 是 $p$-子群；由最大阶限制只能有 $PQ=Q$，继而 $P=Q$。故唯一不动点是 $P$ 自己，上面的同余给出 $n_p\equiv 1(\mathrm{mod}p)$。又由共轭的轨道—稳定子公式，$n_p=[G:N_G(P)]$，而 $P\le N_G(P)$，得到 $n_p\mid [G:P]=m$。

从正规 Sylow 子群继续研究群结构 ​

阶 $15$ 的例子还能继续：两个正规 Sylow 子群 $P,Q$ 的阶分别为 $3,5$，因此交集只有单位元。对 $p\in P,q\in Q$，正规性使交换子 $pq{p}^{-1}{q}^{-1}$ 同时属于 $P,Q$，故它只能是单位元，即二者逐元素交换。又 $|PQ|=15$，所以 $G\cong C_3\times C_5\cong C_{15}$。正规性、平凡交集和相互交换共同给出了这个直积分解。

这种方法用于小阶群分类：先枚举 $n_p$ 的算术候选，再结合实际子群和群作用寻找正规结构。对非素数幂阶群，若某个素因子 $p\mid |G|$ 对应的 Sylow $p$-子群唯一，就找到了非平凡真正规子群，从而排除该群为单群的可能。类方程公理库类方程Class equation of a finite group将有限群按共轭类分拆，以中心大小与中心化子指数表达群的阶。运用相同的轨道计数思想，只是把共轭作用的对象换成群元素，其轨道就是共轭类公理库共轭类Conjugacy class群中元素在内自同构下形成的轨道，刻画改变群内坐标后保持不变的元素类型。。

阶21群的分类与特征标表公理库阶21群的分类与特征标表Groups of order 21 · 阶21非阿贝尔群特征标表从Sylow计数确定阶21群的两种同构类型，再计算非阿贝尔类型的五个共轭类、全部不可约复特征标和七点置换表示的分解。把这条路径继续做到一个完整终点：唯一七阶 Sylow 子群给出半直积，三阶作用只留下循环型与非阿贝尔型；再由乘 $2$ 轨道算出五个共轭类和全部不可约复表示。