Cauchy–Riemann 方程

复可微要求差商 $(f(z)-f(z_0))/(z-z_0)$ 沿一切逼近方向给出同一个极限。仅比较两条最简单的路径——沿实轴与沿虚轴——就分别得到 $f^{\prime }=u_x+i{v}_x$ 与 $f^{\prime }=v_y-i{u}_y$，两式对齐后正是 Cauchy–Riemann 方程；也就是说，方程是"所有方向导数一致"这一苛刻要求的最低门槛。

从实二维视角看，$f$ 作为 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 的映射在一点的 Jacobian 矩阵理路Jacobian 矩阵Jacobian matrix多元映射各偏导数组成并表示其导数的矩阵。为 $\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)$，方程恰好说它形如 $\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$——旋转复合等比伸缩，即"乘一个复数 $a+ib$"的线性作用。复可微因此远强于实的多元可微理路多元函数导数Derivative in several variables · Jacobian derivativeFréchet 导数在有限维 Euclidean 坐标中的 Jacobian、梯度与方向导数表示。：后者只要求局部近似是某个线性映射，前者还要求这个线性映射本身是复数乘法。

一点判据的充分性也能直接证明。令 $h=s+it$，实可微给出

代入 $u_y=-v_x$、$v_y=u_x$，线性部分变成 $(u_x+i{v}_x)(s+it)$。除以 $h$ 后余项趋零，所有方向的差商便共同趋于 $u_x+i{v}_x$。反过来，复可微的展开 $f(z_0+h)-f(z_0)=f^{\prime }(z_0)h+o(|h|)$ 已经是一个实线性近似，并且它的矩阵必满足方程。

正例：$f(z)=z^2=(x^2-y^2)+i2xy$，逐项验证 $u_x=2x=v_y$、$u_y=-2y=-v_x$，处处成立，并且 $f^{\prime }(z)=u_x+i{v}_x=2x+i2y=2z$，与幂函数求导法则一致。

反例：$f(z)=\bar{z}$ 给出 $u=x$、$v=-y$，于是 $u_x=1\ne -1=v_y$，方程处处不成立，$\bar{z}$ 无处复可微——尽管它作为实映射是再光滑不过的线性映射。

仅有原点的方程而缺少实可微性时，结论会失效。取实值函数 $f(z)=\sqrt{|xy|}$（即 $v\equiv 0$）：在原点四个偏导数全为零，方程成立；但沿对角线 $y=x$ 差商为 $|t|/(t(1+i))$，当 $t\to 0^{+}$ 与 $t\to 0^{-}$ 给出不同极限，故 $f$ 在原点并不复可微。这个例子排除的是“偏导存在且满足方程便足够”，并未证明连续偏导是必要条件。

另一个边界例子是 $f(z)=|z{|}^2=x^2+y^2$：方程只在原点成立，$f$ 也确实只在原点复可微，但由于任何开集上都不可微，它在任何点都谈不上全纯——"一点可微"与"全纯"之间隔着一个邻域。

方程是判定全纯性的第一工具，也是复分析与实分析之间的翻译词典。先由Cauchy 积分公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。得到全纯函数的分量无穷次可微，再交叉求导得 $u_{xx}+u_{yy}=0$ 与 $v_{xx}+v_{yy}=0$：实部与虚部都是调和函数，且互为共轭调和，这把复分析接入位势论以及二维静电场、理想流体等物理模型。

Jacobian 行列式等于 $u_x{v}_y-u_y{v}_x=u_x^2+v_x^2=|f^{\prime }(z){|}^2$，故在 $f^{\prime }(z)\ne 0$ 处映射保角且保定向——共形映射理论由此出发。这套方程把复可微与实可微的区别写成可检验的偏导条件，并为 Cauchy 积分定理与公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。提供全纯性的可操作判据。