复路径积分

把路径切成小段，积分近似为 $\sum f(z_k)\mathrm{\Delta }{z}_k$：每个位移 $\mathrm{\Delta }{z}_k$ 不只是长度，还携带方向，而与 $f(z_k)$ 的乘法是复数理路复数Complex number形如 a+bi 的数，按坐标规则构成实数域的二次扩张。乘法——旋转加伸缩。因此复路径积分不是"曲线下面积"，而是函数值按路径切向量加权后的累积，方向信息被原封不动地记进结果里。这解释了两个初看奇怪的现象：同样的两个端点，不同路径可以给出不同积分值；同一条闭路，函数绕奇点转一圈可以留下非零"残迹"。与实线积分的类比在此失效的地方正是乘法：实数乘法只缩放，复数乘法还旋转，抵消与累积的模式因此丰富得多。

若 $f$ 在包含路径的区域上有原函数 $F$（即 $F^{\prime }=f$），则把 $F$ 看作 ${\mathbb{R}}^2\to {\mathbb{R}}^2$ 映射、$\gamma$ 看作实参数曲线，在每段上用链式法则理路链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。得到 $(F\circ \gamma {)}^{\prime }=f(\gamma ){\gamma }^{\prime }$；再对实部与虚部分别用微积分基本定理理路微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。并拼接，得到

积分只依赖端点。例如任取从 $0$ 到 $1+i$ 的路径，${\int }_{\gamma }zdz=\frac{(1+i{)}^2}{2}=i$。

最重要的具体计算是单位圆 $\gamma (t)=e^{it}$，$t\in [0,2\pi ]$ 上的

闭路上积分不为零，说明 $1/z$ 在挖去原点的平面上没有单值原函数；这个非零值恰好在"数"路径绕原点的圈数，是有孔区域中积分能检测绕行的原型。

边界情形有两类。其一，被积函数不解析时积分依赖路径：对 $f(z)=\overline{z}$，从 $0$ 沿直线到 $1+i$ 积分得 $1$，而先到 $1$ 再上行到 $1+i$ 积分得 $1+i$，两者不同。其二，路径穿过 $f$ 的奇点时积分通常根本无定义；绕过奇点的方式（从哪一侧、绕几圈）则会改变结果，这正是留数计算中缩进路径与主值积分要小心处理的地方。

复路径积分是整个复积分理论的载体：Cauchy 积分定理与积分公式理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。断言全纯函数理路全纯函数Holomorphic function · Complex analytic function在复平面开集的每一点都复可微的函数。沿可收缩闭路的积分为零、且函数值可由边界积分重构；由此导出全纯函数自动无穷次可微并展开为幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。上面 $\int dz/z=2\pi i$ 的计算推广为绕数与留数定理理路留数定理Residue theorem闭曲线积分等于各孤立奇点的局部留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。，成为计算实积分、反演变换与计数零点极点的标准工具。绕数对路径连续变形不变这一事实，也把复积分与区域的基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。联系起来：积分能"看见"区域的洞。