同伦

把 $H(x,t)$ 看作点 $x$ 在时间 $t$ 的像；所有点可以同时移动，但相近的点和相近的时间必须给出相近的像。这里移动的是映射，不要求把目标空间本身揉成另一种形状，也不要求中间映射单射或可逆。

光滑同痕理路光滑同痕Smooth isotopy · Isotopy of embeddings在整个参数过程中每个时间切片都保持为光滑嵌入的光滑变形。还要求每个时间切片都是光滑嵌入；同伦本身允许切片塌缩或自交。例如圆周在平面中缩成一点是一条同伦，却在终帧失去嵌入性。

同伦是映射集上的等价关系。常时间变形证明自反性，$H(x,1-t)$ 证明对称性。若 $H$ 把 $f$ 变到 $g$，$K$ 把 $g$ 变到 $h$，把前半段时间交给 $H(x,2t)$、后半段交给 $K(x,2t-1)$；两段在 $t=1/2$ 都等于 $g(x)$，由粘贴引理得到连续同伦。相对 $A$ 的固定条件在这些操作下同样保留。

若 $Y\subseteq {\mathbb{R}}^n$ 凸，则

连接任意两个 $X\to Y$ 的连续映射。凸性确保整个线段留在目标中。例如在实线中把 $f(x)=x$ 变为 $g(x)=0$，可取 $H(x,t)=(1-t)x$；到最后所有点合并，中间映射无须始终是同胚。恒等映射与常值映射同伦的非空空间称可缩。

对圆周不能照搬线段公式：从 $z\in S^1$ 向 $1$ 直线移动通常穿过圆盘内部，离开目标 $S^1$。映射 $z\mapsto z^m$ 的度数为 $m$，所以不同整数 $m,n$ 给出不同伦的映射，特别是恒等映射不能变成常值映射。这里 $z$ 视为单位复数，负幂对应反方向绕行。

联合连续性确实强于分别连续。例如在 $\mathbb{R}\times I$ 上令

固定任一变量后都连续，但沿 $x=t\to 0^{+}$ 的值恒为 $1/2$，而 $H(0,0)=0$，因此它不是同伦。取目标邻域 $(-1/4,1/4)$，任意原点的乘积邻域都包含某个 $(t,t)$、$t>0$，其像为 $1/2$，故该邻域的逆像不可能在原点附近开放。这样便直接用开集判据检出了联合连续性的失败。自由回路同伦允许基点移动，仍要求每个时刻是回路；端点固定路径同伦则不允许端点移动，这两种条件不可混用。

若 $f\simeq g$，在两边复合连续映射后仍同伦，因为可直接复合同一个 $H$。因此同伦适合构造不依赖连续变形的代数不变量：端点固定回路导出基本群理路基本群Fundamental group基点回路按端点固定同伦分类后形成的群。，同伦映射在同调理路同调的同伦不变性Homotopy invariance of homology同伦映射诱导相同的奇异同调同态，因而同伦等价空间具有同构的同调群。上诱导相同同态。

同伦等价理路同伦等价Homotopy equivalence存在互为同伦逆的连续映射时，两个空间具有相同的同伦类型。要求两个方向的映射复合后分别同伦于恒等映射，描述的是空间的同伦类型。形变收缩还固定被收缩到的子空间，属于相对同伦的具体应用；它比仅有一个收缩映射包含更多数据。