解析幂级数

系数增长决定一个以展开中心为圆心的收敛区域。进入半径内部后，几何因子压住系数，级数表现得像有限多项式一样稳定；到了边界，几何衰减恰好消失，收敛便由系数中更细的振荡与衰减决定。

形式幂级数理路形式幂级数Formal power series以系数序列为本体并按 Cauchy 卷积运算、不预设解析收敛的无穷级数。把同样的符号用于记录系数，乘法由各次系数的有限卷积定义。解析幂级数进一步把变量代入数值，并研究所得无穷和。普通生成函数常从形式运算出发；当它具有正收敛半径时，这些代数关系还能转为函数关系。

几何级数 $\sum x^n$ 的半径为 $1$，在 $x=1$ 与 $x=-1$ 都发散；$\sum x^n/n$ 在 $x=-1$ 收敛、在 $x=1$ 发散，说明半径不决定端点。$\sum n!x^n$ 的半径为 $0$，而 $\sum x^n/n!$ 的半径为 $\mathrm{\infty }$。

复级数

在 $|z-1|<2$ 内等于 $2/(3-z)$，收敛半径正是中心 $1$ 到最近奇点 $3$ 的距离。圆盘外即使该有理函数仍有定义，这一特定级数也不再表示它；例如改在 $0$ 展开为 $\sum _{n\ge 0}2z^n/3^{n+1}$，新圆盘为 $|z|<3$，就覆盖了原圆盘外的点 $z=-2$。两个展开在重叠区域表示同一个有理函数。

实变量函数可以无限次可微却不等于其 Taylor 级数，例如

在 $0$ 处所有阶导数皆为零，Taylor 级数恒为零，但 $x\ne 0$ 时函数为正。因此“光滑”不等于“解析”。

复幂级数在收敛圆盘内定义全纯函数，并能逐项求导任意次。Taylor 定理理路泰勒定理Taylor's theorem足够光滑函数由有限阶导数多项式加余项表示。给出有限阶多项式与余项；对于固定 $x$，证明余项随阶数趋零，就得到该点的无穷展开。

幂级数截断利用同一中心处的系数构造局部逼近；多项式插值理路多项式插值问题Polynomial interpolation由互异节点上的有限数据唯一确定次数受限的插值多项式，并区分对象存在性与具体表示算法。利用若干不同节点的函数值构造多项式。两者分别从导数信息与节点数据得到近似。解析常微分方程还可把局部解代成幂级数，通过比较各次系数递推求解。

对具有正收敛半径的普通生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。，复奇点还反映系数的增长。例如 $1/(1-z/\rho )=\sum _{n\ge 0}{\rho }^{-n}{z}^n$ 的奇点位于 $\rho \ne 0$，系数恰以 ${\rho }^{-n}$ 变化。更一般的奇点分析沿着这一联系提取系数渐近。

若函数只在 $r<|z-c|<R$ 的环域全纯，就应使用Laurent 展开理路Laurent 级数Laurent series · 洛朗级数全纯函数在指定环域上有唯一的双边幂级数展开，其系数由环域内圆周积分确定。，把非负幂与负幂两部分分别求和。其收敛区域受内外两个半径约束；同一函数换一个环域，系数也可能改变。内半径描述负幂部分的收敛限制，外半径描述非负幂部分的收敛限制。