Cauchy 积分定理与公式

对一般的实可微函数，仅知道边界值并不能确定内部取值。全纯性改变了这一点：复可微把函数各处的局部信息联系起来，内部的值不能独立于边界任意改变。

积分定理首先说明，全纯函数的闭路积分只依赖闭路的自由同伦类；比较非闭路径时，则需固定两个端点。把闭路径在全纯区域内连续变形，积分保持不变；能收缩到一点的路径，积分于是为零。这个结论把全纯性的局部条件与路径能否绕开区域中的洞联系起来。

积分公式则说明，边界值经 Cauchy 核 $1/(z-z_0)$ 加权积分，并除以 $2\pi i$，就能完整重建内部每一点的值。可以把 $\gamma$ 想成一圈探测器：直接积分全纯函数，绕行一周的读数为零；加入以 $z_0$ 为中心的核后，归一化的读数恰好报出 $f(z_0)$。更高次的核还可以读出全部导数。求导公式由此揭示，全纯函数自动无穷次可微，而一般实函数可微一次并不能保证这一点。

最基本的计算是 ${\int }_{|z|=1}{z}^{n}dz$（$n$ 取整数）：除 $n=-1$ 外全为零，而参数化 $z=e^{it}$ 立得

$1/z$ 在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上处处全纯，但这个区域不是单连通的：单位圆绕住了洞，不可缩，定理不适用。这个非零积分恰好"量出"了洞的存在，是绕数与留数理论的种子。

积分公式中的核为什么能留下 $f(z_0)$，可从缩小围道理解。令围道变形为 $z=z_0+r{e}^{it}$ 的小圆，被积式与 $dz$ 相乘后成为 $if(z_0+r{e}^{it})dt$。当 $r\to 0$ 时，连续性使它的积分趋于 $2\pi if(z_0)$；变形过程中避开 $z_0$，积分值保持不变。核的奇点恰好抵消小圆长度趋零的尺度，而非对普通函数作任意平均。

假设需要逐项核对。全纯性不可少：$f(z)=\overline{z}$ 处处连续却无处全纯，${\int }_{|z|=1}\overline{z}dz={\int }_0^{2\pi }{e}^{-it}\cdot i{e}^{it}dt=2\pi i\ne 0$。公式一侧则要求 $z_0$ 位于围道内部：若 $z_0$ 在外部，被积函数在围道内全纯，由定理积分为零，而不是 $f(z_0)$。取 $f\equiv 1$、$z_0=0$ 验算公式，正好还原出上面 $2\pi i$ 的基本积分。

单连通是保证所有全纯函数的闭路积分为零的充分条件，并非某个积分为零的必要条件。例如在 $\mathbb{C}\setminus \{0\}$ 上，$f(z)=z$ 仍有原函数 $z^2/2$，每条闭路积分都为零。处理一般区域时可以使用同伦不变性，也可以使用更一般的同调版本；不能把“绕数相同”直接解释为两条路径必定同伦。

例如正向圆 $|z|=2$ 上，取 $f(z)=e^z$、$z_0=1$、$n=2$，直接得到

三次分母对应二阶导数，阶乘在换解积分时位于分母；这些位置可以通过此例检查。

全纯函数为什么等于 Taylor 级数，需要验证无穷展开的余项，而不能仅凭“存在任意阶导数”下结论。设闭圆盘 $|\zeta -a|\le \rho$ 位于全纯区域内，令 $M=\underset{|\zeta -a|=\rho }{max}|f(\zeta )|$。对 $|z-a|<\rho$，有限几何恒等式给出

乘以 $f(\zeta )$ 后沿圆积分，利用高阶 Cauchy 公式，得到

界中的 $\rho -r$ 来自 $|\zeta -z|\ge \rho -r$，$\rho$ 来自圆周长度 $2\pi \rho$。因 $r/\rho <1$，余项在闭小圆盘上一致趋零，函数确实等于其幂级数理路解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。。系数还满足 $|f^{(n)}(a)|/n!\le M/{\rho }^n$，故级数在该闭小圆盘上一致绝对收敛。取 $f(z)=1/(1-z)$、$a=0$，便还原 $\sum _{n\ge 0}{z}^n$；其精确余项 $z^{N+1}/(1-z)$ 同样显示边界 $|z|=1$ 不能由内部结论包办。

若中心有洞，单个外圆不足以重建环域内的函数：还须减去内圆的 Cauchy 核积分。Laurent 定理理路Laurent 级数Laurent series · 洛朗级数全纯函数在指定环域上有唯一的双边幂级数展开，其系数由环域内圆周积分确定。分别展开这两个核，得到非负幂与负幂；这一证明顺序随后才通向留数定理理路留数定理Residue theorem闭曲线积分等于各孤立奇点的局部留数按绕数加权之和的 $2\pi i$ 倍。。另由 Cauchy 估计，让有界整函数的积分圆半径趋于无穷，得到 $f^{\prime }(a)=0$，从而证明 Liouville 定理。

同样的导数估计也能把函数族的共同值界转化为共同连续性：在半径为 $R$ 的闭圆盘上若整个族都满足 $|f|\le M$，则半径为 $R/2$ 的小圆盘上有 $|f^{\prime }|\le 4M/R$。正规族与 Montel 定理理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。将这一步接到稠密集上的对角抽取，证明局部一致有界的全纯函数列总有局部一致收敛的子列，并用 Cauchy 核证明极限及各阶导数的保持性质。