留数定理

在一个奇点周围的小圆上，Laurent 级数一致绝对收敛，可以逐项积分。每项 $(z-a{)}^n$ 在 $n\ne -1$ 时有单值原函数 $(z-a{)}^{n+1}/(n+1)$，闭路积分为零；而参数化 $z=a+\epsilon e^{it}$ 后，$dz/(z-a)=idt$，绕一周留下 $2\pi i$。于是小圆只读出 $c_{-1}$，其余系数对这次测量不可见。

对一般闭路径，可以先减掉每个奇点的 Laurent 主部。记

局部展开的内半径为零，所以这一负幂部分在整个 $\mathbb{C}\setminus \{a_k\}$ 上全纯，并在其紧子集上一致绝对收敛。具体地，对离 $a_k$ 至少为 $d>0$ 的紧集，可取局部圆半径 $0<\rho <d$；系数公式给出的项界 $M_{\rho }(\rho /d{)}^m$ 便是可求和的几何界。于是 $g=f-\sum _k{P}_k$ 在各 $a_k$ 附近只剩非负幂部分及其他全纯项，可以延拓为 $U$ 上的全纯函数。

$\gamma$ 在 $U$ 中零伦，故Cauchy 积分定理理路Cauchy 积分定理与公式Cauchy integral theorem · Cauchy integral formula全纯函数在可缩闭路上的积分为零，并可由边界积分重建内部值与所有导数。给 ${\int }_{\gamma }g=0$。沿避开 $a_k$ 的紧路径逐项积分 $P_k$，次数不为 $-1$ 的项都有单值原函数，只有 $c_{k,-1}/(z-a_k)$ 留下 $2\pi in(\gamma ,a_k)c_{k,-1}$。加回有限个主部便得到加权公式。这个论证允许路径自交和多次绕行；积分记录的是带方向的局部读数。零伦是方便的充分条件，更一般的同调零版本也成立。

考虑 $F(z)=e^z/[z(z-1)]$ 与 $\gamma (t)=2e^{it}$，$0\le t\le 2\pi$。取 $U=\mathbb{C}$、$S=\{0,1\}$：$F$ 在 $U\setminus S$ 全纯，路径避开两点，在 $U$ 中可缩。两个点都是简单极点，乘掉对应分母即可读取局部负一次项：

两点都被逆时针绕一周，因而

这个结果还可用 Cauchy 公式独立核对：$F(z)=-e^z/z+e^z/(z-1)$，两项积分分别为 $-2\pi i{e}^0$ 和 $2\pi i{e}^1$。虽然 $\gamma$ 能在 $\mathbb{C}$ 内收缩，却不能在 $\mathbb{C}\setminus \{0,1\}$ 内收缩；若把后者误加为留数定理的条件，恰好会排除这个最基本的应用。

只改路径便能检查每个权重。把 $\gamma$ 改为 $2e^{2it}$，两点绕数都变成 $2$，积分为 $4\pi i(e-1)$；改为 $2e^{-it}$，都变成 $-1$，积分为 $-2\pi i(e-1)$。逆时针圆 $|z|=1/2$ 的权重为 $(1,0)$，给出 $-2\pi i$；逆时针圆 $|z-1|=1/4$ 的权重为 $(0,1)$，给出 $2\pi ie$。圆 $|z|=1$ 则穿过 $z=1$，普通围道积分的连续性条件失效，不能在公式中擅自给它“一半留数”；那需要另行规定主值及绕避方式。

简单极点的乘因子法不能照搬到高阶分母。若 $f(z)=g(z)/(z-a{)}^m$，其中 $g$ 在 $a$ 附近全纯、$g(a)\ne 0$，展开 $g$ 后，只有次数 $m-1$ 的 Taylor 项除以 $(z-a{)}^m$ 会留下负一次幂，因此

例如 $e^z/(z-1{)}^3$ 在 $1$ 处的留数为 $e/2$，沿正向 $|z|=2$ 积分为 $\pi ie$；三次分母对应二阶导数及因子 $2!$。本性奇点也有留数：$e^{1/z}=\sum _{n\ge 0}{z}^{-n}/n!$ 的负一次系数是 $1$，故其单位圆积分为 $2\pi i$，尽管 $\underset{z\to 0}{lim}z{e}^{1/z}$ 不存在。

有限个孤立奇点是本陈述的范围。$1/\sin \left(1/z\right)$ 的极点 $1/(k\pi )$（$k\in \mathbb{Z}\setminus \{0\}$）聚集到 $0$，没有一个以 $0$ 为中心的去心圆盘能让它全纯，因此不能在 $0$ 使用上述 Laurent 留数定义，也不能不证明收敛便把有限求和公式改成无穷和。

对数导数把积分转成零点计数：若 $f$ 在 $a$ 有 $m$ 重零点，局部分解 $f(z)=(z-a{)}^{m}v(z)$、$v(a)\ne 0$ 给出 $\mathrm{Res}(f^{\prime }/f,a)=m$。因此，当 $f$ 在闭圆盘的某个邻域全纯且圆周上不为零时，正向积分 $(2\pi i{)}^{-1}\int f^{\prime }/f$ 等于内部零点的重数和；若允许内部有极点，则还要减去极点阶数和。在正规族的极限应用理路正规族与 Montel 定理Normal family · Montel's theorem · 局部一致收敛的全纯极限从局部有界的全纯函数族抽取极限，再用聚点上的取值识别整列极限，并证明零点重数稳定及单射极限的边界。中，这个整数积分在局部一致收敛下保持稳定，进而证明单射全纯极限只能是单射或常数。

实积分 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}dx/(1+x^2)$ 展示了留数计算之后还需做的估计。取 $R>1$，沿 $[-R,R]$ 再沿上半圆从 $R$ 返回 $-R$，只围住 $i$。其留数是 $1/(2i)$，回路积分为 $\pi$。圆弧上 $|1+z^2|\ge R^2-1$，长度为 $\pi R$，所以弧积分的模至多为 $\pi R/(R^2-1)\to 0$。于是实线段积分趋于 $\pi$。留数给出了回路值，弧估计才把它转成实积分值。

取 $f(z)=g(z)/(z-a)$ 时，留数是 $g(a)$，因而留数定理的简单围道情形回到 Cauchy 积分公式。计算应用则可继续走向 Fourier 型积分、Laplace 逆变换和生成函数理路普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。系数；每次仍需单独核查路径、奇点以及无穷远处的误差控制，不能只写出几个留数便跳过这些步骤。