离散卷积

输出位置 $n$ 不只读取 $a_n$ 与 $b_n$，而是遍历所有满足 $k+(n-k)=n$ 的下标分解。第一条序列提供一部分下标，第二条提供余下部分，两项相乘后再把所有形成同一总下标的路径相加。多项式乘法中，同样的机制把次数相加。

若 $a=(1,1)$、$b=(1,1)$ 只支撑在下标 $0,1$，则 $a\ast b=(1,2,1)$：中间系数 $2$ 来自分解 $1=0+1=1+0$。公平骰子质量函数的自卷积产生先升后降的三角分布，因为中间点数和拥有更多分解。

独立性在概率解释中不可省略。若 $X$ 为公平的 $0/1$ 随机变量且 $Y=X$，两个边缘质量函数相同，但实际 $X+Y$ 在 $0,2$ 各取概率 $1/2$，在 $1$ 取概率 $0$；把边缘直接卷积却给 $(1/4,1/2,1/4)$。卷积相乘使用的是联合概率可分解这一事实。

有限长度信号的 DFT 相乘后逆变换得到循环卷积：下标按长度取模，越界项会绕回开头。若想得到线性卷积，必须先零填充到至少 $m+n-1$；遗漏这一步会发生混叠。例如 $(1,1)$ 与自身的线性卷积是 $(1,2,1)$，若只做长度 $2$ 的循环卷积，下标 $2$ 绕回 $0$，结果变为 $(2,2)$，并非原结果的截断。没有绝对可和性时，重排无穷级数可能改变结果，结合律也不能只凭形式符号宣称。

普通生成函数相乘时，$x^n$ 的系数正是序列卷积，这连接了普通生成函数公理库普通生成函数Ordinary generating function把序列编码为形式幂级数 Σ a_n x^n。与组合分拆。对长度分别为 $r,s\ge 1$ 的有限复数输入，选二次幂 $N\ge r+s-1$ 并补零，两次FFT公理库快速 Fourier 变换Fast Fourier transform · FFT利用单位根的偶奇分解在 $O(n\log n)$ 时间计算离散 Fourier 变换。、逐点相乘和一次逆 FFT 就输出线性卷积；只保留前 $r+s-1$ 项。在给定单位根的精确复数运算模型中，成本为 $O(N\log (N+1))$。这项实现针对有限输入，不是计算任意无穷序列的全部卷积项。离散概率中，独立整数值随机变量之和的质量函数也按同一公式计算。

对有限集合的指示函数，$(1_A\ast 1_B)(s)$ 恰好数出 $s=a+b$ 的有序表示次数；把这些次数平方后求和，就得到加性能量公理库加性能量Additive energy · 加法能量用相同和的有序四元组计数衡量加法碰撞，并通过卷积平方和与 Fourier 四阶矩连接和集大小及频谱结构。。因此卷积不仅给出有哪些和，还能通过同一输出被多少输入共享，量化加法碰撞。

周期网格上的逐点乘积对应循环卷积，高频因此可能折进保留的低频。谱去混叠公理库谱混叠与去混叠Spectral aliasing · Dealiasing从频率模网格数的折叠推导二次非线性的补零与截断规则，完整算出一个伪低频反例。先扩展网格计算乘积，再截回原频带，明确了何时循环卷积与所需连续乘积系数一致。