复数

把 $z=a+bi$ 看成平面向量时，加法按坐标相加。乘以固定的 $c+di$ 则把坐标 $(a,b)$ 变成 $(ca-db,da+cb)$，对应实矩阵 $\left(\begin{array}{cc}c& -d\\ d& c\end{array}\right)$；它的两列正交且等长，因此非零时恰好是绕原点旋转与统一缩放的组合。共轭是关于实轴的反射，$z\bar{z}=|z{|}^2$ 则把这个几何操作转成可用于除法的实数分母。加入 $i$ 的代价不是失去四则运算，而是无法继续保留与加乘都相容的全序。

乘以 $i$ 把 $(a,b)$ 变为 $(-b,a)$，即逆时针转 ${90}^{\circ }$；因此 $(1+i{)}^2=2i$ 同时表示把长度 $\sqrt{2}$ 平方、把角度 $\pi /4$ 加倍。除法也可直接复算：

对 $z\ne 0$，极形式是 $z=r{e}^{i\theta }$，其中 $r=|z|>0$，而 $\theta$ 只在模 $2\pi$ 意义下确定。由此 $z^2=-4$ 的解为 $\pm 2i$，$z^3=1$ 的根为 $1,e^{2\pi i/3},e^{4\pi i/3}$，均匀分布在单位圆上。模长始终满足 $|zw|=|z||w|$，辐角相加则必须保留模 $2\pi$ 的约定。例如取主辐角在 $(-\pi ,\pi ]$，有 $\mathrm{Arg}((-1)(-1))=0$，却有 $\mathrm{Arg}(-1)+\mathrm{Arg}(-1)=2\pi$。零的辐角没有定义；复对数的多值性也源于这一周期性。

复数不能成为有序域。若存在与加乘兼容的全序，任意非零元素的平方都应为正，故既有 $1>0$ 又有 $i^2=-1>0$，矛盾。这不禁止人为按坐标排列复数，只说明该排列不能同时保留实数那样的有序域规则。

从实数系公理库实数系Real number system · Ordered complete field满足序域公理与上确界完备性的数系。到复数的扩张保留了域公理库域Field非零元素在乘法下均可逆的交换环。运算，却改变了次序结构；随后复可微公理库复可微性Complex differentiability复差商在任意方向趋近时有同一极限的性质。把“所有方向的差商一致”变成强刚性条件，并在全纯函数与幂级数公理库解析幂级数Power series · Analytic power series在实数或复数中按收敛半径定义函数的幂级数。之间建立远强于实分析的联系。有限维实矩阵的成对复特征值也说明，复数常是理解实线性系统最自然的坐标语言；Schur 分解公理库Schur 分解Schur decomposition · Schur triangularization · Real Schur form用酉或正交相似变换把一般矩阵化为上三角或实准上三角形，作为浮点全谱计算的稳定结构目标。正是在复数域上把任意方阵酉相似为上三角形。

在振荡与波动问题中，$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$ 又把相位变化化成复指数的乘法，因此 Fourier 分析可以把复杂信号拆成不同频率的旋转分量。von Neumann 分析公理库von Neumann 稳定性分析von Neumann stability analysis · Fourier stability analysis · Amplification factor analysis把周期常系数差分格式分解为 Fourier 模态，计算放大因子，并区分稳定性、阻尼、相位误差与适用边界。用这些复模态表示网格误差的放大与相位，而绝对稳定域公理库ODE 方法的绝对稳定域Absolute stability region · Region of absolute stability以标量衰减测试方程的放大因子定义一步法稳定域，并区分 A-stability、L-stability、精度与其他稳定概念。把 $h\lambda$ 放在复平面中判断时间步进的衰减范围；量子力学中的相位与叠加也使用同一套复线性语言。