阿贝尔群

一般群像依次执行动作，阿贝尔群更像叠加位移或数量。位移先向东再向北，与先向北再向东终点相同；所以有限和可以自由改变括号与顺序，并把相同方向合并成整数倍。这个特征让线性组合、模与同调理论能够在群的基础上继续发展。

交换并不意味着结构只有一个方向。循环群由单个元素驱动，阿贝尔群则可以有多个独立生成方向；${\mathbb{Z}}^2$ 中横向与纵向位移彼此交换，却没有一个位移能生成整张格点平面。有限生成阿贝尔群结构定理所做的，正是把这些独立方向拆成无限循环部分和有限循环部分。

交换律还把左右之分消掉：左陪集与右陪集自动一致，每个子群都在共轭下保持不变。因此阿贝尔群中任意子群都可以取商。例如把 ${\mathbb{Z}}^2$ 的横向子群 $\mathbb{Z}\times \{0\}$ 压成零，点 $(a,b)$ 的陪集便只由纵坐标 $b$ 决定，所得商群同构于 $\mathbb{Z}$。

整数、剩余类和向量空间在加法下都是阿贝尔群。非零复数在乘法下也是阿贝尔群；它同时包含模长变化与角度旋转。由此可见，加法记号只是方便约定，群元素完全可以来自其他对象。

连续函数集合 $C([0,1],\mathbb{R})$ 在逐点加法下构成阿贝尔群：$(f+g)(x)=f(x)+g(x)$，零函数是单位元，$f$ 的逆元是 $-f$。实数加法的交换律在每个 $x$ 处成立，因此也给出函数之间的交换律。

每个循环群都阿贝尔，因为同一生成元的幂按指数相加。反向不成立：Klein 四元群 $C_2\times C_2$ 的三个非零元素都只有二阶，因而没有一个元素能走遍全群。这里的直积公理库群的直积Direct product of groups在群的笛卡尔积上逐坐标运算所得的群，用来组合彼此独立的群结构。保留了两个独立的二元方向。

对称群 $S_n$ 在 $n\ge 3$ 时不阿贝尔。例如按右侧先作用的约定，

含 $0$ 的自然数集合在加法下是交换幺半群。加入负数后，每个元素都有加法逆元，就得到整数的阿贝尔群。

四元数群 $Q_8=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}$ 满足 $ij=k$、$ji=-k$，所以不阿贝尔。它的非平凡真子群却全都正规：$\{\pm 1\}$ 位于中心，而 $⟨i⟩,⟨j⟩,⟨k⟩$ 都有指数 $2$。这里共轭保持的是整个子群；它仍可把子群中的 $i$ 换成 $-i$。这说明“所有子群都正规”与“所有元素都交换”的区别。

阿贝尔性被子群、同态像、商群公理库商群Quotient group将正规子群压成单位元后，在其陪集商集上诱导出的群。和直积保持。以商群为例，若 $A$ 阿贝尔且 $B\le A$，则

因此 $A/B$ 仍阿贝尔。对直积，交换律逐坐标成立。反之，一个群即使有阿贝尔正规子群和阿贝尔商，也未必阿贝尔；$S_3$ 有正规子群 $A_3$，且 $A_3$ 与 $S_3/A_3$ 都阿贝尔，但 $S_3$ 本身不交换。

有限生成阿贝尔群结构定理断言，每个有限生成阿贝尔群都同构于

的一种标准形式，其中 $r\ge 0$、$n_i\ge 2$，并可要求 $n_1\mid n_2\mid \cdots \mid n_k$。自由部分的元素可以无限累加，循环部分则有规定周期；删去平凡因子后，$r$ 和这列不变因子唯一确定。Smith 正规形能计算整数矩阵所定义商群的这些数据。

加法群 $\mathbb{Q}$ 展示了有限生成假设的作用。任取有限多个有理数，令正整数 $D$ 是它们分母的共同倍数，则它们的整数线性组合都落在 $D^{-1}\mathbb{Z}$ 中，始终得不到 $1/(2D)$。所以这组数无法生成 $\mathbb{Q}$。

对任意群 $G$，把交换子子群 $[G,G]$ 商掉得到阿贝尔化 $G^{\mathrm{ab}}=G/[G,G]$。任意从 $G$ 到阿贝尔群的同态都唯一地经过这个商；交换子子群恰好是迫使目标交换所必须消去的部分，因此阿贝尔化保留了所有能被交换目标观察到的信息。

有限子集通常不是子群，却仍可研究和集 $A+B$ 与差集 $A-B$。Ruzsa 三角与覆盖工具公理库Ruzsa 三角不等式与覆盖引理Ruzsa triangle inequality · Ruzsa covering lemma用固定差表示的注入控制和差集大小，再以极大不交平移族把小和集转成有限覆盖，并给出四点整数集的完整证书。只使用交换、消去和平移保基数，就从集合大小推出可验证的平移覆盖；这些证明同时适用于整数群和有限循环群，无须额外的线性结构。