Hilbert 变换

把积分改写成对称的距离变量，在零附近得到

分子的一阶抵消消除了 $1/t$ 的不可积奇性。只保留一侧、或者分别积分两边再减去两个无穷量，都不再是这个定义。

频域中，正频率乘以 $-i$，负频率乘以 $i$，每个频率的幅度不变，只改变相位。因此在周期纯模态的对应版本中，余弦变为正弦，正弦变为负余弦。对一般实线信号，空间域的长尾和奇点则揭示了仅看频率幅度难以察觉的端点行为。

一个区间的变换同时暴露两个端点问题 ​

对 $f={\mathbf{1}}_{(0,1)}$，在 $x\ne 0,1$ 直接取主值积分得

例如 $Hf(1/2)=0$，因为左右输入完全抵消；$Hf(2)=\log 2/\pi$，$Hf(-1)=-\log 2/\pi$。靠近零或一时，对数绝对值发散，所以一个有界输入可以得到无界输出，$L^{\mathrm{\infty }}\to L^{\mathrm{\infty }}$ 有界性失败。

另一方面，$|x|\to \mathrm{\infty }$ 时

所以输出的绝对值有 $1/|x|$ 尾，整体不可积；$L^1\to L^1$ 也失败。局部对数奇点和远处幂尾是两个不同的失败机制。

抵消不是零输出 ​

如果 $f$ 是偶函数，$Hf$ 是奇函数；它在零点为零，却一般在别处不为零。奇核抵消的是局部共同常数部分，不是把整条信号消除。对 $L^2$ 输入，由乘子直接有

因为 $(-i\mathrm{sign}\xi {)}^2=-1$ 几乎处处。单点 $\xi =0$ 的取值不影响 $L^2$ 等价类。

从正则化核得到 L2 等距 ​

令

它是可积频率函数 $-i\mathrm{sign}(\xi )e^{-2\pi \epsilon |\xi |}$ 的逆 Fourier 变换：拆开正负半轴后，只需计算

记这个频率函数为 $m_{\epsilon }$。它与 Schwartz 输入 $f$ 都在 $L^1$ 中，所以将 $Q_{\epsilon }={\mathcal{F}}^{-1}{m}_{\epsilon }$ 代入卷积时，Fubini 定理公理库Fubini 定理Fubini's theorem在适当可积条件下，多重积分等于任意次序的迭代积分。允许交换绝对积分，得到 $Q_{\epsilon }\ast f={\mathcal{F}}^{-1}(m_{\epsilon }\hat{f})$；这不要求 $Q_{\epsilon }$ 本身属于 $L^1$。随着 $\epsilon \downarrow 0$，符号有界地趋于 $-i\mathrm{sign}\xi$；对平方频域误差使用以 $4|\hat{f}{|}^2$ 控制的控制收敛定理公理库控制收敛定理Dominated convergence theorem几乎处处收敛且被同一可积函数控制时，可以交换极限与积分。，再由Plancherel 定理公理库Plancherel 定理Plancherel theoremFourier 变换从稠密子空间唯一延拓为 L² 上保持内积与范数的酉算子。得到 $L^2$ 收敛。空间域中，用左右差分处理原点，得到相同的主值极限。因此

弱 L1 界需要再用空间抵消 ​

$L^2$ 有界本身不能推出弱 $L^1$。对 $f\in L^1\cap L^2$ 和阈值 $\lambda$，取平均 $|f|$ 超过 $\lambda$ 的最大二进区间 $I_j$。它们两两不交；父区间的平均不超过 $\lambda$，所以

大祖先区间的平均至多为 $\Vert f{\Vert }_1/|I|\to 0$，所以每条超过阈值的嵌套链都有一个最大的坏区间。Lebesgue 微分定理公理库Lebesgue 微分定理Lebesgue differentiation theorem局部可积函数在几乎每一点都由缩小球上的平均恢复，且该点附近的平均绝对振荡趋零。也适用于这里缩小的二进区间：含 $x$、长度为 $\ell$ 的区间包含在 $B(x,\ell )$ 中，其平均绝对振荡至多为中心球平均的两倍。因此在这些坏区间外 $|f|\le \lambda$ 几乎处处。令 $g$ 在区间外等于 $f$，在 $I_j$ 内等于 $f$ 的平均；令 $b_j=(f-f_{I_j}){\mathbf{1}}_{I_j}$。则

好部分用 $L^2$ 等距和Markov 的测度积分估计公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。控制：

坏部分可能很高，但每块平均为零。设 $c_j$、${\ell }_j$ 是 $I_j$ 的中心和长度。对 $x\notin 3I_j$，

括号绝对值至多为常数乘 ${\ell }_j/|x-c_j{|}^2$。对 $x\notin 3I_j$ 积分，其积分为绝对常数，故

放大区间的并只有至多 $3\Vert f{\Vert }_1/\lambda$ 的长度；在其外，对坏部分之和用上述可积估计和 Markov 型界，得到同阶的坏点长度。将好、坏两部分合并，就证明 $|\{|Hf|>\lambda \}|\le C\Vert f{\Vert }_1/\lambda$。无穷区间族可先取有限部分，再用 $L^2$ 收敛的几乎处处子列与Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。过极限。

中间指数与应用 ​

弱 $(1,1)$ 与强 $(2,2)$ 经Marcinkiewicz 插值公理库Marcinkiewicz 插值定理Marcinkiewicz interpolation theorem · Weak-type interpolation把函数按输出阈值拆成高低振幅两部分，用不同弱型界分别控制，再对阈值积分得到中间指数的强界。给 $1<p<2$。对 $p>2$，令 $q=p/(p-1)<2$。乘子共轭等于它的负数，故 $L^2$ 中 $H^{\ast }=-H$；对共同核心中的 $f,g$，Hölder 不等式公理库Hölder 不等式Hölder's inequality共轭指数下函数乘积的 L¹ 范数由各自的 Lᵖ 范数乘积控制。给

对有界有限支撑的探针 $g$ 取上确界便得到 $\Vert Hf{\Vert }_p\le C_q\Vert f{\Vert }_p$。这个范数识别可直接以 $\mathrm{phase}(Hf)|Hf{|}^{p-1}$ 的空间与振幅截断归一化验证，不依赖有限测度空间的抽象对偶定理。再由核心在有限 $p$ 的 $L^p$ 中稠密作唯一延拓，得到 $2<p<\mathrm{\infty }$。所以完整论证需要三块证据：频域给平方范数，空间抵消给弱端点，插值与对偶填入中间指数。

Hilbert 变换连接信号的相位分量、调和共轭与 Fourier 截断。区间例子提醒我们：在 $L^2$ 中完全不放大能量，并不意味着保持最大振幅，也不意味着保持绝对总量。选择输出误差指标之前，必须先确认这个指标是否在有界指数范围内。