Poisson 过程

极短时间 $h$ 内，一次到达的概率是 $\lambda h+o(h)$，两次及以上是 $o(h)$。加上不交区间独立，意味着把时间切得更细不会改变模型：每段都有同样的单位时间机会，没有隐含的班次相位或共同高峰环境。

指数间隔与计数的对应可以从零次事件看出：$P(X_1>t)=P(N(t)=0)=e^{-\lambda t}$。反方向从独立指数间隔出发，任意确定时刻 $t$ 所在间隔的剩余部分仍为新指数时间，并独立于已观察到的历史；这由指数无记忆性与后续间隔独立性得到。因而每次从确定时刻重新观察，未来计数与历史独立且规律相同。对 $n\ge 1$，累积间隔 $S_n$ 的密度为 ${\lambda }^n{s}^{n-1}{e}^{-\lambda s}/(n-1)!$；与下一段在 $t-s$ 内不结束的概率相乘并积分，得到

$n=0$ 则直接由首段生存函数给出。这验证了构造具有所定义的全部增量规律。反之，独立 Poisson 增量确定所有有限维分布；右连续计数路径由有理时刻的值确定，所以这两个描述给出同一过程律。

设两条独立输入流速率分别为 ${\lambda }_1$、${\lambda }_2$。在任意长度 $h$ 的窗口，两者计数相加的生成函数为

不同窗口的总计数也独立，因此合并流仍为速率 ${\lambda }_1+{\lambda }_2$ 的 Poisson 过程。这不是只对一个窗口使用分布可加性，而是同时核验了整个过程的增量结构。

反过来，给速率 $\lambda$ 的每次到达贴上标签，标签相互独立且与原过程独立，以概率 $p\in (0,1)$ 分到第一类。长度 $h$ 窗口两类计数的联合生成函数为

这个因式分解也可逐项核对：对非负整数 $k,l$，

所以两类窗口计数独立；不交窗口的原计数及所用标签也独立，这进一步给出两个过程的独立性。其速率分别为 $p\lambda$ 和 $(1-p)\lambda$。若 $p=0$ 或 $1$，其中一路恒为空，可称为退化的零速率过程；它不需要定义参数为零的指数间隔。标签若根据最近的拥堵状态选择，就不再是这里的独立稀疏化。

对 $T>0$、整数 $n\ge 1$，给定 $N(T)=n$，到达时刻 $(S_1,\dots ,S_n)$ 的联合分布等于 $n$ 个独立 $\mathrm{Unif}(0,T)$ 样本排序后的分布。因此即使已知窗口内恰有两次到达，它们也不是固定落在三等分点；应在 $0<s_1<s_2<T$ 的三角域上均匀，密度为 $2/T^2$。

若一开始随机抽一个速率 $\mathrm{\Lambda }$，之后按该速率运行，条件于 $\mathrm{\Lambda }$ 是 Poisson 过程，但不同窗口会共享 $\mathrm{\Lambda }$ 而相关。非齐次 Poisson 过程则保留独立增量，将参数换成 ${\int }_s^t\lambda (u)du$，但失去平稳增量。批量到达又需要复合计数模型，不能保留“一次只跳一格”的假设。

极端超越的 Poisson 点过程极限公理库极端超越的 Poisson 点过程极限Poisson point-process limit for extremes · Extreme exceedance point process正则变化独立样本的极端观测保留发生时间与归一化高度后，形成具有幂型高度强度的 Poisson 点过程极限。从独立重尾样本推导时间—高度平面中的稀有点模型：强度随高度变化，只有远离高度零的区域具有有限点数，因而比固定速率时间计数保留更多极端幅度信息。

Poisson 到达与指数服务使系统当前人数足以预测下一次变化，由此得到M/M/1 队列公理库M/M/1 排队模型M/M/1 queue从单服务台的生灭速率推出几何稳态、负载条件与平均等待，区分队内和系统内指标。。它也可用作统一的候选跳变时钟，在均匀化算法公理库连续时间链的均匀化Uniformization · Randomization method for CTMC · 均匀化用共同 Poisson 时钟和自环表示有界速率连续时间链，并以 Poisson 尾控制数值截断误差。中表示一般有界速率的连续时间链。真实输入是否满足独立、恒定速率和单个到达，应在使用这些模型以前检查。