Prüfer 相角、振荡与谱计数

把相平面横轴取为通量 $v=p{u}^{\prime }$，纵轴取为 $u$，相角从横轴连续读出。一次过 $u=0$ 就过一个 $k\pi$ 阈值；右端允许的直线则是 $\theta =\beta$ 模 $\pi$。保留连续圈数，才知道碰到的是第几次边界允许方向。

这里的 Prüfer 是二阶 ODE 的相角换元。标号树的 Prüfer 编码理路Prüfer 编码Prüfer code · Prüfer sequence把含 $n$ 个标号顶点的树双射编码为长度 $n-2$ 的顶点序列。以删叶序列建立组合双射，名称相同不产生证明依赖。

相角存在，而且在零点只能向上穿过 ​

若某点 $u=v=0$，线性初值唯一性理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。会使解恒零，与规范初值矛盾。因此状态始终避开原点，可以沿区间唯一连续提升相角。对式(2)求导，

得到式(3)。当 $u=0$ 时，$v\ne 0$，所以 $u^{\prime }=v/p\ne 0$，零点简单；相应地

相角在其他位置可以下降，例如 $p=w=1,q=0,\lambda =-1$ 时 ${\theta }^{\prime }=\cos 2\theta$ 在 $\theta =\pi /2$ 为负。式(8)仅保证整数倍 $\pi$ 的穿越方向，不声称 $x\mapsto \theta (x)$ 全程单调。

每个阈值至多穿过一次，否则在两次向上穿越之间必须向下穿越同一阈值。零点也不可能在闭区间中聚集：聚点连续性给 $u=0$，Rolle 定理再给 $u^{\prime }=0$，违反唯一性。于是左端解的内部零点数为

两端都用开区间计数；例如 $\theta (b)=m\pi$ 时，右端零点必须排除，因而不能直接写成 $\lfloor \theta (b)/\pi \rfloor$。

参数严格单调来自一个带正权的积分 ​

先说明对参数求导合法。把式(1)写成 $y^{\prime }=M_{\lambda }(x)y$，其中 $M_{\lambda }$ 连续且对 $\lambda$ 仿射。对固定紧参数区间，积分方程及 Grönwall 给 $y_{\lambda +h}\to y_{\lambda }$ 一致成立。差商 $z_h=(y_{\lambda +h}-y_{\lambda })/h$ 满足

与线性积分方程 $z={\int }_a^x(M_{\lambda }z+M_1{y}_{\lambda })$ 相减，再用同一估计，得到 $z_h\to z$ 一致收敛。这证明参数导数存在，且可由变分方程计算；不需要把不同时刻的矩阵积分后直接取指数。

记 $U={\partial }_{\lambda }u,V={\partial }_{\lambda }v$，则

计算 Wronskian 型表达式：

又由式(2)，${\rho }^2{\partial }_{\lambda }\theta =vU-uV$，积分便给式(4)。$w>0$，而非平凡 $u$ 不可能在一整段恒零，故每个 $x>a$ 的积分严格为正。这里的严格性同时排除了同一相角阈值出现两个参数根。

负无穷基准必须真正证明 ​

式(8)给 $\theta (x;\lambda )>0$ 对每个 $x>a$ 成立：若 $\alpha =0$，相角先向上离开零，之后无法向下穿零；$\alpha >0$ 同理。接着固定 $x_0>a$，选

取直线

于是 $\varphi \in [\epsilon ,\gamma ]\subset (0,\pi )$，且 ${\sin }^2\varphi \ge {\sin }^2\epsilon$。记 $p_{\ast }=minp,w_{\ast }=minw,q_{\ast }=minq$，选择充分负的 $\lambda <0$，使

因为 $\lambda <0$，有 $\lambda w(x)-q(x)\le \lambda w_{\ast }-q_{\ast }<0$，从而

起点 $\theta (a)=\alpha <\gamma =\varphi (a)$。若两曲线第一次相遇，相遇处 ${\theta }^{\prime }-{\varphi }^{\prime }<0$，与从下方首次碰到的方向矛盾。所以 $0<\theta (x_0;\lambda )<\epsilon$。让任意小 $\epsilon$ 运行此论证，即得负无穷极限零。

不能把 $\gamma$ 偷换成 $\pi$：那会在左端使 $F(a,\pi )=1/p(a)>0$，而 ${\varphi }^{\prime }<0$，上解不等式当场失败。也不能把 $\lambda w$ 简写成 $\lambda$，权在式(10)中承担真实作用。

从阈值穿越推出编号、计数与振荡 ​

规范左解是特征函数，当且仅当右端残差为零，即

所以特征参数恰好落在 $\theta (b;\lambda )=\beta +k\pi$。相角始终正，$\beta \in (0,\pi ]$，故只能取 $k\ge 0$。负无穷极限零、连续性和严格递增性意味着：若某个较高阈值被达到，之前每个阈值都已恰好达到一次。前页的无限离散谱保证阈值不能在有限层停止。因此第 $n$ 个谱点恰对应 $\beta +n\pi$，给式(5)。

谱点之间，$s(\lambda )$ 位于相邻整数之间，严格和闭计数相等；谱点处 $s=n$，它们相差一。最低谱点以下 $-1<s<0$，两式都给零。分段检查得到式(6)，再以集合差得到式(7)，无需在精确等号处引入数值舍入。

将 $\theta (b;{\lambda }_n)=\beta +n\pi$ 代入式(9)，并用 $\lfloor \alpha /\pi \rfloor =0$、$\lceil \beta /\pi \rceil =1$，便得第 $n$ 个特征函数恰有 $n$ 个内部零点。若右端 Dirichlet，即 $\beta =\pi$，式(9)进一步等于 $N_{<}(\lambda )$。一般 Neumann 或 Robin 下没有这个简化。

负值、零值和开闭端点都要保留 ​

在前页的变系数模型

中，$\alpha =\beta =\pi /2$，${\lambda }_n=(n^2-1){\pi }^2$。因此

在 ${\lambda }_0=-{\pi }^2$，规范解恒为一、通量恒零，相角恒为 $\pi /2$，式(4)在右端的导数恰为 ${\int }_0^{e-1}wdx=1$。这也核对了参数积分中的权和半径分母。

在 $\lambda =1$，变换到 $t=\log (1+x)$ 后左端解是 $\cos \left(\sqrt{{\pi }^2+1}t\right)$。由于 $\pi <\sqrt{{\pi }^2+1}<3\pi /2$，它只有一个内部零点，但 $-{\pi }^2$ 和 $0$ 都小于 $1$，故 $N_{<}(1)=2$。这是“任意分离边界都可以直接数左解零点”的具体反例。

将右端改成 Robin：定位根还要证明没有漏根 ​

保持同一系数与左端 Neumann，改右端为 $p{u}^{\prime }+u=0$，即 $\beta =3\pi /4$。$t$ 坐标中为 $v^{\prime }(1)+v(1)=0$。设 $s=\lambda +{\pi }^2$：

• $s=-{\kappa }^2<0$：左端解 $\cosh \kappa t$ 的右残差为 $\kappa \sinh \kappa +\cosh \kappa >0$，无根
• $s=0$：左端解为一，右残差为一，也无根
• $s=k^2>0$：左端解 $\cos kt$ 的右残差为 $\cos k-k\sin k$。$\cos k=0$ 时它非零，所以候选根可以合法转成 $k\tan k=1$

在每个 $I_n=(n\pi ,n\pi +\pi /2)$、$n\ge 0$，$k\tan k$ 从零严格增到正无穷，因为导数 $\tan k+k{\sec }^{2}k>0$。另外半周期的正 $k$ 满足 $\tan k<0$，不能等于 $1/k$；分支端点也不是根。因此每个 $I_n$ 恰有一个根 $k_n$，且没有其他根，

$k_0<\pi /2<\pi$，$k_1>\pi$，故恰有一个负特征值，零不再是谱点。规范化系数也必须重算：

不同 $k_n$ 下的加权正交性来自同一个自伴算子，而不是整数余弦积化和差的特殊零值。

取 $R(k)=k\sin k-\cos k$。带余项的有理 Taylor 运算给

在第 $n$ 对端点，$(-1{)}^{n}R$ 左负右正。由于这些端点处 $(-1{)}^n\cos k>0$，它与 $k\tan k-1$ 同号。分支单调性负责唯一性与编号；有理符号负责包围。 只看两个端点异号本身不能排除区间中有三个根。

近似相角怎样变成认证计数 ​

令 $\hat{\theta }$ 为区间上的绝对连续近似，已知

因为

误差积分满足

Grönwall 不等式理路Grönwall 不等式Gronwall inequality · Grönwall lemma将受自身积分控制的非负函数封闭为显式指数上界。于是给可用的端点证书

实际认证须对系数求值、缺陷、积分、指数及最终比较都提供向外包围；普通求解器的误差估计不自动满足这里的已知不等式。

设 $\mathrm{\Theta }=[\hat{\theta }(b)-E,\hat{\theta }(b)+E]$。只有整个 $\mathrm{\Theta }$ 落在相邻阈值 $\beta +n\pi ,\beta +(n+1)\pi$ 之间时，才能认证 $N_{<}=N_{\le }=n+1$。最低阈值以下计数为零。若区间碰到某个阈值，报告“尚不能区分”，而不是将其舍入到较近整数；精确谱点需要精确等式或另一套严格端点证明。

唯一 shooting 根包围与停止条件 ​

若在 $c<d$ 已认证

则连续性与严格参数单调给唯一 ${\lambda }_n\in (c,d)$。每次选择切点重新认证相角，便可缩小包围；若切点包围跨阈值，就提高精度，或保留已有外包围。不能只因两次浮点迭代接近便认定已经定位了第 $n$ 根。

式(11)的特殊模型可以更直接地用 $R(k)$ 的精确符号二分。若所得有理根区间为 $(l,r)$，对应特征值区间是 $(l^2-{\pi }^2,r^2-{\pi }^2)$；若同时有 $\pi \in (P_{-},P_{+})$ 的有理证书，则 $(l^2-P_{+}^2,r^2-P_{-}^2)$ 是全有理外包围。包围宽度与唯一编号共同构成结果。

本页没有宣称一般 shooting 的新复杂度：还没有指定系数访问、缺陷认证、参数敏感度及位精度的成本模型。有限矩阵的 Sturm/LDL 计数理路移位惯性与特征值区间计数Shifted inertia eigenvalue count · Sturm count for symmetric tridiagonal matrices把对称矩阵的移位惯性变成严格或闭区间谱计数，以有理 LDL 和二阶主元给出不依赖近似根的区间证书。则用移位惯性在其给定矩阵内计数；其线性递推成本不能原样搬给连续 ODE。

会骗过图像与浮点打印的失败方式 ​

主值 $\mathrm{atan}(u/v)$ 丢失 $\pi$ 的整数倍。即使用双参数反三角函数，逐点保留主值也会丢掉连续圈数。只看 shooting 残差在两端同号，则可能漏掉偶数个简单根；例如 Neumann 模型在正频率坐标的残差 $-k\sin k$ 在 $(\pi /2,5\pi /2)$ 两端均负，却在内部有 $\pi ,2\pi$ 两根。

在零特征值处，若真实 $s(0)=1$ 被浮点近似成 $1+{10}^{-12}$，直接取上整会把 $N_{<}(0)$ 错报成二；若得到 $1-{10}^{-12}$，直接用下整加一会把 $N_{\le }(0)$ 错报成一。提高显示位数不是等号证书。

完整终点练习及有理复算器同时检查负/零谱、开闭计数、Robin 迁移及这两种误报。程序只验证有限符号与指定计数；无限完备性、一般参数单调性和误差定理仍由正文的证明承担。