正则 Sturm–Liouville 的加权自伴谱

区间 Dirichlet Green 算子理路区间 Dirichlet Green 算子Dirichlet Green operator on an interval · 区间零边界Green积分算子用正核min(x,t)−xt构造−d²/dx²的零边界逆，证明正则性与全谱，并把共振积分方程准确转为边值问题。已经把一个正的零边界逆变成完整正弦基。现在要处理的增量是一般 $p,q,w$ 与两个分离边界：逆可能在零点不存在，Robin 边界项可能有负号，而正确的正交性发生在 $wdx$ 测度中。

做法是先把谱整体移到正半轴，再对移位逆调用已有紧谱定理。微分算子本身通常无界；紧的是它的预解。分部积分只检查对称性，完整自伴性还要排除伴随拥有更大的定义域。

先吸收可能为负的 Robin 边界项 ​

对 $u\in D(A)$ 分部积分，得到实二次型

非 Dirichlet 端点取 $c_a=\cot \alpha ,c_b=\cot \beta$；Dirichlet 端点的项直接省略，绝不计算 $\cot 0$ 或 $\cot \pi$。正负号来自 $-[\bar{u}p{u}^{\prime }{]}_a^b$，两端不同。

记 $\ell =b-a$。对任意 $u\in H^1$、$x\in [a,b]$，从绝对连续代表出发，先将

对 $t$ 平均，再用 Cauchy–Schwarz 与 $2rs\le \epsilon r^2+{\epsilon }^{-1}{s}^2$，得每个 $\epsilon >0$ 都有

这里下标 $2$ 表示不加权 $dx$ 范数。令 $p_{\ast }=minp>0$、$w_{\ast }=minw>0$、$q_{\ast }=minq$，以及

仍省略 Dirichlet 项。若 $B>0$，取 $\epsilon =p_{\ast }/(2B)$，式(5)–(6)给

若 $B=0$，可取 $C=max(0,-q_{\ast })/w_{\ast }$。常数可以粗，但它有限且覆盖任意允许的 Robin 符号。边界项全非负时，另有更准确的 $Q(u)\ge min(q/w)\Vert u{\Vert }_w^2$，其中必须除以权 $w$。

固定 $\eta =-C-1$。若 $(A-\eta I)u=0$，则

所以齐次边值问题只有零解。这一步先保证有可用的实移位，未借用尚未证明的谱排序。

从两个边界解构造完整空间上的逆 ​

令状态为 $(u,v)=(u,p{u}^{\prime })$。齐次方程等价于

线性 ODE 初值理论理路线性常微分方程组Linear system of ordinary differential equations形如 x′=A(t)x+b(t) 的向量值一阶线性方程组。给唯一解。取左、右规范解 $u_a,u_b$，使

直接对

求导，式(8)使两项相消，所以 $D$ 为常数。若 $D=0$，两个非零状态相关；唯一性便给一个同时满足两端条件的非零解，违反刚才的移位唯一性。因此 $D\ne 0$。

定义

核连续、实且对称。固定 $t$，跨过 $x=t$ 的通量跳跃是

所以 $-(p{G}_x{)}^{\prime }$ 的点源系数为 $+1$；公式中的负号不能在固定 Wronskian 次序后随意删掉。

还须检查每个 $f\in H$，而不只检查连续右端。由于 $w$ 正连续并远离零，$H$ 与通常 $L^2$ 有等价范数，且 $f\in L^1$。记

两函数绝对连续，且

求导时交叉项抵消；再求通量导数便得

$u$ 连续且有界，$p{u}^{\prime }$ 绝对连续且属于 $H^1$；$p\in C^1$ 又远离零，使 $u^{\prime }=(p{u}^{\prime })/p\in H^1$，故 $u\in H^2$。在 $a$ 处仅剩 $u_a$ 的状态倍数，在 $b$ 处仅剩 $u_b$ 的状态倍数，因而两端条件成立。于是

反过来，$u\in D(A)$ 时，$T(A-\eta I)u-u$ 是同边界的齐次解，故为零。得到第二个逆恒等式，以及

紧、自伴、正：先在有界逆上逐项核验 ​

映射 $Uf=\sqrt{w}f$ 是 $H\to L^2(dx)$ 的酉映射。共轭算子 $UT{U}^{-1}$ 的核为 $\sqrt{w(x)}{G}_{\eta }(x,t)\sqrt{w(t)}$，平方积分有限。因此平方可积核定理理路平方可积核积分算子Square-integrable kernel operator · Hilbert–Schmidt integral operator · 平方可积积分核从核的平方积分建立有界与紧性，通过共轭转置核判定自伴，并区分积分核、算子零空间与逐点评价。给 $T$ 紧、有界；实对称核给 $T=T^{\ast }$。

对 $f\ne 0$，令 $u=Tf$。双侧逆使 $u\ne 0$，分部积分与式(7)给

这是逐个非零输入的严格正性，未声称存在统一正数乘 $\Vert f{\Vert }_w^2$ 的下界。

不能把对称误称为自伴 ​

$D(A)$ 含 $C_c^{\mathrm{\infty }}(a,b)$，而权有上下正界，所以它在 $H$ 中稠密。对 $u,v\in D(A)$，两端状态落在同一实一维直线上，Green 边界型消失，给 $⟨Au,v{⟩}_w=⟨u,Av{⟩}_w$。这仅证明 $A\subseteq A^{\ast }$。

这里的无界伴随定义为：$v\in D(A^{\ast })$ 当且仅当存在 $h_0\in H$，对所有 $u\in D(A)$ 有 $⟨Au,v{⟩}_w=⟨u,h_0{⟩}_w$，并置 $A^{\ast }v=h_0$；稠密性保证唯一。它与有界伴随理路Hilbert 空间伴随算子Adjoint of a bounded operator on Hilbert spaces · Hilbert space adjointHilbert 空间间有界线性算子的唯一有界伴随，以及无界算子情形必须显式携带的定义域。使用相同的内积约定，但必须带上定义域。

取任意 $v\in D(A^{\ast })$，记 $h=(A^{\ast }-\eta I)v$。对全部 $f\in H$，式(11)与 $T=T^{\ast }$ 给

所以 $v=Th\in \mathrm{ran}T=D(A)$。于是 $D(A^{\ast })=D(A)$，$A^{\ast }=A$。闭性也可直接核验：若 $u_j\to u$、$A{u}_j\to g$ 于 $H$，则 $u_j=T(A{u}_j-\eta u_j)\to T(g-\eta u)$，故 $u\in D(A)$ 且 $Au=g$。

将已有紧谱定理用于移位逆，再返回微分算子 ​

由紧自伴谱定理理路紧自伴算子谱定理Compact self-adjoint spectral theorem · 紧自伴离散谱定理从达到最大绝对Rayleigh值开始构造正交特征向量，证明非零谱离散、趋于零及核以外的完备展开。，正且单射的 $T$ 有正特征值 ${\mu }_n\downarrow 0$ 及覆盖 $H$ 的完备规范基。$H$ 无限维；若 $T$ 只有有限秩，便不可能单射，所以序列无限。

$Te=\mu e$ 等价于 $e\in D(A)$ 且 $Ae=(\eta +{\mu }^{-1})e$。同一 $\lambda$ 下，左端允许初值是一维空间；非零解初值不能为零，ODE 唯一性使特征空间至多一维。因此 ${\mu }_n$ 无重数，得到式(2)，并且可把规范解取实值。

还需排除额外的非特征谱。由 $D(A)=\mathrm{ran}T$，$u=\sum c_n{e}_n$ 有原像恰好要求 $\sum |c_n/{\mu }_n{|}^2<\mathrm{\infty }$，这就是式(3)。若 $z$ 不等于任何 ${\lambda }_n$，则 ${\lambda }_n\to +\mathrm{\infty }$ 使 $|{\lambda }_n-z|$ 有共同正下界，且

故式(4)不仅在 $H$ 中收敛，还确实属于式(3)的定义域，乘回给双侧逆。其有限秩截断的范数误差为 $\underset{n>N}{sup}|{\lambda }_n-z{|}^{-1}\to 0$，所以每个预解都紧。这完成了全部谱的识别，而非仅列出一批候选特征对。

变系数、非平凡权与负零正三类模态 ​

在 $[0,e-1]$ 取

设 $t=\log (1+x)$、$v(t)=u(e^t-1)$，则 $0\le t\le 1$，逐项有

因此酉换元将 $A$ 送到 $-v^{″}-{\pi }^{2}v$，两端边界为 $v^{\prime }(0)=v^{\prime }(1)=0$。光滑换元及逆在闭区间导数有界，也双向保存这里的 $H^2$ 定义域。

设 $s=\lambda +{\pi }^2$。$s<0$ 时左 Neumann 解为 $\cosh \left(\sqrt{-s}t\right)$，右导数不为零，故无根；$s=0$ 给常数；$s=k^2>0$ 时左解为 $\cos kt$，右导数为零要求 $k=n\pi$。所以全部谱与规范基为

代回微分方程、边界及余弦乘积积分，可逐个确认特征关系与归一化；前面的紧预解证明与这次 ODE 穷尽共同保证无限族完备，有限 Gram 检验不能代替它。

这里 ${\lambda }_0=-{\pi }^2$、${\lambda }_1=0$、${\lambda }_2=3{\pi }^2$。权重也能直接验错：

去掉权后，这些不同特征值的特征函数甚至不再正交。

哪些边界会破坏常见口号 ​

• $q\ge 0$ 不推出任意 Robin 问题的谱非负：取 $p=w=1,q=0$ 于 $[0,1]$，两端 $u^{\prime }=u$，即 $\alpha =\beta =\pi /4$。$u=e^x$ 满足边界且 $Au=-u$，给特征值 $-1$
• 非负边界项下的势能下界是 $min(q/w)$。取 $p=1,q=2,w=2$、两端 Neumann，常数模态的特征值为 $1<minq=2$；漏掉权会得到假下界
• 周期条件 $u(0)=u(1),u^{\prime }(0)=u^{\prime }(1)$ 虽可定义自伴问题，却不是分离条件。$-u^{″}$ 的 $\sin \left(2\pi nx\right)$ 与 $\cos \left(2\pi nx\right)$ 共享正特征值 $(2\pi n{)}^2$，简单性失效
• 若 $p$ 在端点为零，例如 Legendre 的 $p=1-x^2$，或区间无界，本页正则条件不满足。端点状态、紧预解及离散完备基都需要重新审查
• 若 $w$ 变号，所写积分不再是 Hilbert 范数。不能仅保持公式外观就继续使用正交谱证明

零模态是真正的兼容条件 ​

由式(3)–(4)，$(A-zI)u=f$ 在非谱参数处对每个 $f\in H$ 唯一可解。若 $z={\lambda }_m$，有解恰当且仅当 $⟨e_m,f{⟩}_w=0$；成立时全部解是

删去共振方向后仍有正谱间隔，并且 $({\lambda }_n-\eta )/({\lambda }_n-{\lambda }_m)$ 有界，保证这个级数属于 $D(A)$。例如式(13)中 $Au=e_1$ 无解，而 $Au=e_0$ 的全部解为 $-e_0/{\pi }^2+c{e}_1$。这在加权定义域中保留了既有 Green 共振机制，同时允许零模态与负谱。

从谱存在到谱计数，还要一次连续传播 ​

本页证明谱存在、简单、完备及向正无穷排序，却未给一般系数的第几个特征值如何被有限数据定位。Prüfer 相角与边值谱计数理路Prüfer 相角、振荡与谱计数Prüfer phase and Sturm oscillation · Continuous Sturm eigenvalue count · Sturm–Liouville shooting certificate连续提升左端相角，证明参数严格单调、负无穷基准和零点编号，再以误差包围认证开闭谱计数及唯一 shooting 根。将左端规范状态传播到右端，证明端点相角对 $\lambda$ 严格递增，用阈值 $\beta +n\pi$ 编号，并给带误差的计数和唯一根包围。它也证明第 $n$ 个特征函数恰有 $n$ 个内部零点。

加权谱与振荡计数终点练习要求复算式(13)的完整模型，再把右端改为 $p{u}^{\prime }+u=0$，重新认证前三个 Robin 根。已有Volterra 奇异系统理路紧算子的奇异系统Singular system of a compact operator · Compact operator SVD · 紧算子左右奇异展开为一般紧算子构造两端的完整奇异方向，证明范数收敛与截断误差，并求完 Volterra 算子的混合边界奇异系统。处理的是输入输出两端基，Picard 判据理路Picard 判据与紧算子的最小范数逆Picard criterion · Picard solvability condition · Moore–Penrose inverse of a compact operator以余核正交和加权平方和同时判定精确可解性，给出最小二乘逆的真正定义域，并算出 Green 数据的 q>5/2 阈值。处理第一类方程值域；这两项都保持各自的对象与用途。