集合划分

划分要求每个元素恰好落入一个块：覆盖保证没有遗漏，不交保证没有重复归属，非空保证没有虚设的块。块与块之间没有先后次序，块内部也没有次序，但底集元素的身份仍保留。

把每个元素送到它所在的块，得到从底集到块族的满射；同一个块恰好是这个映射的一条纤维。反过来，任意函数的非空纤维都会划分其定义域。这使抽象定义变成了“根据某个分类结果归组”的具体操作。

同样的块大小，不同的划分 ​

$\{1,2,3\}$ 的五个划分是

中间三个都具有大小分布 $2+1$，却有不同的成员组合。整数分拆理路整数分拆Integer partition把正整数写成若干正整数之和且忽略加数次序的表示。只保留大小，因此把这三个对象映到同一结果。交换块的书写次序不改变划分；交换底集中的元素则可能改变它。

整数按模 $3$ 分类给出一个无限底集的三块划分。另一方面，$\{\{1,2\},\{2,3\}\}$ 覆盖底集，却因元素 $2$ 重复归属而不是划分；$\{\{1\},\{2\}\}$ 又遗漏了 $3$。软聚类和重叠社群可以有用，但不满足这里的严格定义。

空集的唯一划分是空块族 $\varnothing$，不是 $\{\varnothing \}$，因为后者含有一个不允许的空块。这个约定使空集分成零块的计数为 $1$。

细化如何比较分类 ​

在 $\{1,2,3,4\}$ 上，$\{\{1\},\{2\},\{3,4\}\}$ 细于 $\{\{1,2\},\{3,4\}\}$，因为前者每块都装在后者的一个块中。细化只能拆块，不能把不同旧块的元素重新拼成跨块的新组。因而 $\{\{1,3\},\{2,4\}\}$ 与后一个划分互不可比，块数相同并不意味着同一划分。

需要同时保留块的先后次序时，有序划分精化理路有序划分精化Ordered partition refinement · 有序分块精化用元素归属指针和两层链维护有序非空块，只按本轮指定元素收费地分裂触及的块。把每个旧块原位分成与指定集合的交和余部，空块省略，不把不同旧块的选中元素重新拼组。元素归属指针与双向链让一次操作只按给定列表和触及块收费；这维护的是带顺序的算法状态，不改变本页无序块族的定义。

给定划分，定义“处于同一块”为等价关系理路等价关系Equivalence relation满足自反、对称和传递性的关系。；再取该关系的等价类，会恢复原来的每个块。反过来也成立，所以这里的等价关系是在同一底集上、通过互逆构造建立的一一对应。

第二类 Stirling 数理路第二类 Stirling 数Stirling number of the second kind把 n 元集合划分为 k 个非空无标号块的方案数。 $S(n,k)$ 计数 $n$ 元集分为 $k$ 个非空无标签块。若给块分别标上 $1,\dots ,k$，每个划分恰有 $k!$ 种标法，得到满射计数 $k!S(n,k)$；若还固定每块容量，则使用多项式系数。

细化关系使全部划分组成格理路格Lattice · Lattice order任意两元素都有最大下界与最小上界的偏序集。。共同细化可取两种划分的所有非空块交；共同粗化则把必须同组的关系沿传递性连起来。并查集合并操作实现的正是逐步合并等价类，而不会维护块内部顺序。