第二类 Stirling 数

把 $n$ 个标号元素划成 $k$ 个无标签非空块时，观察最后一个元素：它要么单独成新块，要么加入已有 $k$ 块之一。前者留下 $S(n-1,k-1)$，后者有 $kS(n-1,k)$，这给出递推。块无标签使它不同于把元素映到 $k$ 个有名盒子的满射数。

$\{\genfrac{}{}{0ex}{}{\{3}{2\}=3}\}$，对应三种“一个单元素块加一个二元素块”的划分。它与第一类 Stirling 数不同，后者计数排列的循环。满射数为 $\{\genfrac{}{}{0ex}{}{k!\{n}{k\}}\}$，因为给无标号块再安排 $k$ 个目标标签。

$S(4,2)=7$：可由递推 $S(3,1)+2S(3,2)=1+2\cdot 3$ 得到。若两块标为红、蓝，则每个无标签二块划分对应 $2!$ 个满射，所以满射数为 $2!S(4,2)=14$。边界值 $S(0,0)=1$ 保留空划分，$S(n,0)=0$ 对 $n>0$。

集合划分理路集合划分Set partition把集合表示为两两不交非空块且其并为全体的块族。由 Stirling 数按块数细分，对 $k$ 求和得到 Bell 数；递推属于递推关系理路递推关系Recurrence relation用先前项规定序列当前项的关系。，指数生成函数理路指数生成函数Exponential generating function · EGF以 a_n x^n/n! 编码带标号组合对象计数序列的形式幂级数。为 $(e^x-1{)}^k/k!$，其中非空块贡献 $e^x-1$。它也出现在有限差分与普通幂、下降阶乘之间的基变换中，进而联系随机变量的矩展开。与整数分拆理路整数分拆Integer partition把正整数写成若干正整数之和且忽略加数次序的表示。相比，这里元素有标号；与多项式系数理路多项式系数Multinomial coefficient把 n 个可区分对象分入若干有标号组时的计数系数 n!/(n1!⋯nk!)。相比，这里块大小不预先固定且块无标签。

第四行与两个独立复算 ​

递推逐项给出 $(S(4,1),S(4,2),S(4,3),S(4,4))=(1,7,6,1)$。其中二块分法按块大小分为 $1+3$ 和 $2+2$：前者选单元素有四份，后者从六个二元素子集中选一块却把每份划分数了两次，故有 $6/2=3$ 份，共七。三块只能是一个二元素块和两个单元素块，所以有 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})=6$ 份。总和十五是集合划分总数，不是 $4!$。

满射给第二种算法。对 $n\ge 1,k\ge 1$，从全部 $k^n$ 个函数中排除遗漏目标的情况，容斥得

$n=4,k=2$ 时为 $2!S(4,2)=2^4-2\cdot 1^4=14$，再次得到七。$n=k=0$ 的空映射单独计一，避免在计数解释中未经说明使用 $0^0$。

前面写出的 EGF 也可直接证明：固定 $k$，$(e^z-1{)}^k$ 先构造 $k$ 个有标签、非空、标签互不相交的块，系数乘 $n!$ 就是满射数；由于每个无标签块族恰有 $k!$ 个标号版本，除以 $k!$ 得 $(e^z-1{)}^k/k!$。非空性既保证除法的每个原像数相同，也使每个总大小只涉及有限的块数。

与第一类 Stirling 数理路第一类 Stirling 数Unsigned Stirling number of the first kind · Signed Stirling number of the first kind · 循环数以可逆的循环插入证明第一类Stirling递推，区分有符号和无符号约定，复算四阶全表与循环型。的差别不只是符号：第一类的块带循环顺序。阶乘基变换理路升降阶乘与 Stirling 换基Falling factorial basis · Rising factorial · Stirling inversion在特征零多项式中建立普通幂、下降阶乘、上升阶乘三组坐标，以计数和三角性证明两类Stirling互逆。完整证明本页计数怎样成为普通幂到下降阶乘的系数；有限差分理路有限差分的离散微积分Calculus of finite differences · Newton forward expansion · 前向差分算子用前向差分恢复多项式、判定整数格上的次数，并通过二项式基求离散原函数和幂和。给 $k!S(n,k)={\mathrm{\Delta }}^k(x^n){|}_{x=0}$；Ferrers阶梯板理路Ferrers 棋盘的阶乘因式分解Ferrers rook factorization · Factorial rook polynomial · Goldman–Joichi–White factorization以嵌套行的双计数证明阶乘车多项式线性分解，算出阶梯板车数并构造集合划分的弧编码。则构造 $r_j=S(n,n-j)$ 的弧路径双射。这些接口保留本页的集合划分定义与插入递推，不以新符号替换它们。上述满射式与EGF分别对应参考资料DLMF的式26.8.6与26.8.12。