高斯曲率

曲面在一点沿不同切向方向有不同法曲率，其最大值与最小值是两条主曲率，高斯曲率为二者乘积。正值表示各方向同侧弯曲，负值表示鞍形，零值表示至少有一个主方向不弯。

半径 $r>0$ 的球面有 $K=1/r^2$，Euclidean 平面与圆柱面有 $K=0$，双曲平面为常负曲率。圆柱沿环向弯曲、沿轴向平直，两条主曲率的乘积为零；局部展开成平面时，其内在距离保持不变。对高于二维的流形，曲率依赖所选二维切平面，需使用截面曲率而非单一高斯标量。主曲率的符号会随法向改变，但乘积 $K$ 不变。

两张图形曲面都取诱导度量。向上单位法向给 $z=x^2+y^2$ 在原点的形算子 $\mathrm{diag}(2,2)$，故 $K=4$；$z=x^2-y^2$ 在原点则为 $\mathrm{diag}(2,-2)$，故 $K=-4$。二者的切平面都只是水平面，一阶近似完全相同，曲率差异来自二阶项。若只知道平均曲率为零，也不能推出高斯曲率为零；极小曲面常有一正一负的主曲率。

标准嵌入环面的完整计算公理库Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。从全局正交标架得到 $a=\sin vdu$，继而得到 $K=\cos v/[r(R+r\cos v)]$。乘以面积密度 $r(R+r\cos v)$ 后，只剩 $\cos v$：外侧正总曲率为 $4\pi$，内侧为 $-4\pi$。因此拓扑要求的总量为零允许曲率在局部明显非零。

Riemann 度量公理库Riemann 度量Riemannian metric在每一点切空间上光滑变化的正定内积。通过一般 Riemann 张量在二维给出内在高斯曲率，切空间公理库切空间Tangent space在一点由曲线速度或函数导子等价定义的局部线性空间。中的形算子行列式则给嵌入公式。测地线公理库测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。的会聚与曲率相关，Gauss–Bonnet 定理公理库Gauss–Bonnet 定理Gauss–Bonnet theorem从正向标架的联络形式推出局部转角公式，再由三角剖分证明整体 Gauss–Bonnet；显式计算球面两图的 Euler 数和嵌入环面的正负曲率抵消。把总曲率积分化为拓扑不变量。