Levi–Civita 存在唯一性定理

形式陈述

设 $(M,g)$ 是光滑 Riemann 流形。存在唯一的切丛联络 $\nabla$ 同时满足：

无挠：

\nabla_XY-\nabla_YX=[X,Y];

与度量相容：

X\,g(Y,Z) =g(\nabla_XY,Z)+g(Y,\nabla_XZ)

对任意光滑向量场 $X,Y,Z$ 成立。该唯一联络称 $g$ 的 Levi–Civita 联络。

两项条件合并得到 Koszul 公式：

\begin{aligned} 2g(\nabla_XY,Z) ={}&Xg(Y,Z)+Yg(Z,X)-Zg(X,Y)\\ &-g(X,[Y,Z])+g(Y,[Z,X])+g(Z,[X,Y]). \end{aligned}

证明骨架由该公式同时给出。唯一性方面，右侧完全由 $g$ 和 Lie 括号决定，而 $g$ 非退化，所以它决定 $\nabla_XY$ 。存在性方面，反向使用公式定义 $\nabla_XY$ ：先验证右侧对 $Z$ 在 $C^\infty(M)$ 上线性，因而逐点对应唯一向量；再逐项核验联络的线性与 Leibniz 规则、度量相容性和无挠性。

在坐标 $(x^i)$ 中，若 $(g^{ij})$ 是 $(g_{ij})$ 的逆矩阵，则

\Gamma^k_{ij} =\frac12g^{k\ell} \left( \partial_i g_{j\ell} +\partial_j g_{i\ell} -\partial_\ell g_{ij} \right).

这些 Christoffel 符号表示坐标基向量的协变导数。换坐标时，其变换公式还包含坐标变换的二阶导数，因此它们不按张量的规则变换。

直觉

Riemann 度量规定每点的长度和角度，但比较不同点的向量仍需要联络。度量相容要求平行移动保持内积；无挠要求协变导数的交换差恰好等于向量场的 Lie 括号。两个条件一起恰好消除一般联络的自由度。

Koszul 公式是这项唯一性的“解方程结果”：把度量相容公式做循环置换，再用无挠条件替换交换差，就能把所有未知项消成单个 $g(\nabla_XY,Z)$ 。

例子与边界

Euclidean 空间的标准度量在直角坐标中满足 $g_{ij}=\delta_{ij}$ ，所有一阶导数为零，所以 $\Gamma^k_{ij}=0$ ，Levi–Civita 联络就是普通方向导数。换到 $r>0$ 的平面极坐标，

g=dr^2+r^2d\theta^2,

会得到

\Gamma^r_{\theta\theta}=-r,\qquad \Gamma^\theta_{r\theta} =\Gamma^\theta_{\theta r}=\frac1r.

非零符号来自坐标标架变化，不表示平面产生曲率。

度量相容单独不保证唯一：可加入适当的反对称挠率项而仍保持内积。无挠单独也不保证唯一，因为不同度量可有不同无挠联络。无挠与度量相容共同把这两类自由度固定下来。

正常坐标使 $\Gamma^k_{ij}(p)=0$ ，而曲率还涉及这些系数的导数。球面在每点都有正常坐标，曲率仍为正。无挠条件中的 Lie 括号定义在切丛向量场上，因此这一定理选择的是给定 Riemann 度量的切丛联络。

推论与应用

测地线由

\nabla_{\dot\gamma}\dot\gamma=0

定义，因而 Riemann 度量通过 Levi–Civita 联络唯一给出测地线方程和平行移动。该联络的协变微分交换失败形成Riemann 曲率张量，把度量的一阶导数组织为联络、二阶几何组织为曲率。

参考资料

John M. Lee, Riemannian Manifolds: An Introduction to Curvature, Springer, 1997, Ch. 5, the Levi–Civita connection.
Manfredo P. do Carmo, Riemannian Geometry, Birkhäuser, 1992, Ch. 2, Riemannian connections and the Koszul formula.

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