Jones 多项式与 Kauffman 括号

形式陈述

对无向链环图 $D$ ，在每个交叉选择两种平滑之一。固定以下约定：图中左上至右下的股在上方时， $A$ -平滑连接左上至左下、右上至右下； $B$ -平滑连接两个上端和两个下端。镜像交叉的两个系数交换。设

\delta=-A^2-A^{-2}.

计算在整数多项式环添入 $A^{-1}$ 后的 Laurent 环中进行：每个结果都是有限和 $\sum_{k\in\mathbb Z}a_kA^k$ ，不涉及解析级数的收敛。Kauffman bracket 由局部规则

\langle\text{交叉}\rangle=A\langle A\text{-平滑}\rangle+A^{-1}\langle B\text{-平滑}\rangle

及 $\langle\bigcirc\rangle=1$ 、 $\langle D\sqcup\bigcirc\rangle=\delta\langle D\rangle$ （ $D$ 非空）确定。

固定过欠交叉及 A、B 两种平滑，避免系数与图形约定混用 — 本图的 A 平滑是两条竖弧，B 平滑是上、下各一条连接弧；镜像交叉交换 A 与 A⁻¹。

若 $D$ 有 $c$ 个交叉，一个状态 $s$ 指定所有交叉的平滑。记两种选择数量为 $a(s),b(s)$ ，平滑后圆的数量为 $|s|$ ，则

\langle D\rangle=\sum_{s\in\{A,B\}^c}A^{a(s)-b(s)}\delta^{|s|-1}.

给 $D$ 定向，沿用 Reidemeister 变换中的交叉符号约定，令 writhe $w(D)=\sum_c\varepsilon(c)$ ，即正交叉数减去负交叉数，定义

f_D(A)=(-A^3)^{-w(D)}\langle D\rangle,\qquad V_L(t)=f_D(A)\big|_{A=t^{-1/4}}.

归一化后得到 Jones 多项式，并满足平凡结的值为 $1$ 。单个结的 $V_K$ 属于 $\mathbb Z[t,t^{-1}]$ ；链环可能出现半整数指数。

直觉

每个交叉都被两种无交叉连接替代，状态和把所有选择的贡献相加。它不是挑一条最像原图的平滑，也不是把交叉信息直接丢弃： $A$ 与 $A^{-1}$ 的权重负责记住选了哪种连接。

原始 bracket 对 II、III 型变换不变，却会被 I 型小扭圈乘上额外因子。writhe 恰好记录扭圈的正负个数，因此它的作用是抵消这个因子，使最后的值属于空间链环，而不依赖画图时多扭了几个圈。

例子与边界

先核验一个正扭圈

按图示约定，一个正扭圈的两种平滑分别给出“原弧加一个圆”与“原弧”，所以

\langle D_+\rangle=(A\delta+A^{-1})\langle D\rangle=-A^3\langle D\rangle.

同时 $w(D_+)=w(D)+1$ ，因此

(-A^3)^{-w(D)-1}\langle D_+\rangle =(-A^3)^{-w(D)}\langle D\rangle.

负扭圈相应乘 $-A^{-3}$ ，也被抵消。比如带一个正扭圈的平凡结图有 bracket $-A^3$ ，归一化后仍为 $1$ ；不加这一因子就会给同一个结两个不同答案。

II 型可用两条无交叉连接来核对。记竖直连接为 $I$ ，上下帽形连接为 $e$ ，堆叠满足 $e^2=\delta e$ 。正、负交叉相乘展开为

(AI+A^{-1}e)(A^{-1}I+Ae) =I+(A^2+A^{-2}+\delta)e=I.

III 型再对一个交叉展开，两个平滑图各可通过 II 型与平面同痕对应，所以两侧 bracket 一样。这说明不变性依赖所选 $\delta$ ，并非任何圆权重都可以。

三叶结的八个状态逐类相加

把三叶结取为两股正辫 $\sigma_1^3$ 的闭包，故 $w=3$ 。按 $B$ -平滑的数量分组：

| $b(s)$ | 状态数 | 平滑后圆数 $|s|$ | 合计贡献 | | --- | --- | --- | --- | | $0$ | $1$ | $2$ | $A^3\delta$ | | $1$ | $3$ | $1$ | $3A$ | | $2$ | $3$ | $2$ | $3A^{-1}\delta$ | | $3$ | $1$ | $3$ | $A^{-3}\delta^2$ |

这些圆数可直接从两股连接追踪：没有 $e$ 时闭包是两个圆；一个 $e$ 时一个圆；每多堆叠一个 $e$ ，由 $e^2=\delta e$ 多出现一个独立圆。因此八个状态确实为 $1+3+3+1$ ，没有省掉状态。

代入 $\delta$ 并合并同类项：

\begin{aligned} \langle D\rangle &=A^3(-A^2-A^{-2})+3A+3A^{-1}(-A^2-A^{-2})\\ &\quad+A^{-3}(A^4+2+A^{-4})\\ &=-A^5-A^{-3}+A^{-7}. \end{aligned}

归一化为

f_D(A)=(-A^3)^{-3}\langle D\rangle=A^{-4}+A^{-12}-A^{-16},

所以

\boxed{V_K(t)=t+t^3-t^4}.

镜像把过欠全部交换，等价于 $A\leftrightarrow A^{-1}$ ，最终得到 $V_{\overline K}(t)=t^{-1}+t^{-3}-t^{-4}$ 。两式不同，因此这对镜像三叶结不等价。

推论与应用

若输入链环图有 $c$ 个交叉和 $\ell$ 个分支，朴素状态枚举有 $2^c$ 项，每个状态可用 $O(c+\ell)$ 次图遍历操作追踪圆，因此这部分组合成本为 $O((c+\ell)2^c)$ 。展开 $\delta$ 的幂、合并 Laurent 系数及大整数运算的成本还要另计，不能把这项遍历界直接当作完整的位复杂度。递归缓存与图结构可减少实际成本，但状态和定义本身不意味着多项式时间算法。

Jones 多项式值不同能证明结不同，值相同一般不足以证明等价。本例及其镜像的Alexander 多项式都为 $t-1+t^{-1}$ ，但上面两个 Jones 多项式不同。这一对具体结说明两种不变量保留的信息不同；比较时仍须固定图、方向与归一化，不能把任何一个当成结型的完整分类。

参考资料

Louis H. Kauffman，State Models and the Jones Polynomial，Topology 26 (1987), 395–407，§2，Definition 2.1、Lemmas 2.3–2.4、Proposition 2.5 与 writhe 归一化。
Vaughan F. R. Jones，A Polynomial Invariant for Knots via von Neumann Algebras，Bull. AMS 12 (1985), 103–111，Theorems 1–3 与 12；原始定义使用辫表示，bracket 是 Kauffman 的后续状态模型。

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