Alexander 多项式与 Seifert 矩阵

形式陈述

设 $K$ 为有向结， $F$ 为亏格 $g$ 的有向 Seifert 曲面。选择整数同调群 $H_1(F;\mathbb Z)$ 的一组基 $\alpha_1,\ldots,\alpha_{2g}$ ，将每条环路沿正法向稍微推离曲面，记作 $\alpha_i^+$ 。定义 Seifert 矩阵

V_{ij}=\operatorname{lk}(\alpha_i^+,\alpha_j).

推离后的环路与曲面上的环路互不相交，所以这个环绕数有定义。同调代表的改变不影响配对，因为边界的交数相应抵消。

Alexander 多项式可由

\Delta_K(t)\doteq\det(V-tV^{\mathsf T})

定义，这里取的是交换环上的行列式。在整数多项式环中再令 $t$ 可逆，得到 Laurent 环 $\mathbb Z[t,t^{-1}]$ ：其元素是有限和 $\sum_{k\in\mathbb Z}a_kt^k$ 。符号 $\doteq$ 表示只确定到乘上该环的单位 $\pm t^m$ 。这个等价类不依赖曲面和基；对结还可唯一归一化为

\Delta_K(t)=\Delta_K(t^{-1}),\qquad\Delta_K(1)=1.

$g=0$ 时， $H_1(F;\mathbb Z)=0$ ，所选基和 Seifert 矩阵都为空；空矩阵的行列式为 $1$ ，公式仍有意义。

不同教材若定义 $V_{ij}=\operatorname{lk}(\alpha_i,\alpha_j^+)$ ，矩阵会转置。必须连同推离约定一起读，不能逐项照抄而不检查。

直觉

曲面本身的抽象形状告诉我们有几个把手，Seifert 配对则询问这些把手的环路在三维空间中怎样互相绕行。沿正面推开是必要的：原来的两条环路可能在曲面内相交，环绕数不能直接用于它们。

矩阵通常不对称。推开第一条和推开第二条是不同操作，它们的差记录曲面内的有向交数，具体为 $V-V^{\mathsf T}$ 。对只有一个边界分支的亏格 $g$ 曲面，这个交数形式是整系数非退化的辛形式，因此行列式为 $1$ ，给出 $\Delta_K(1)=1$ 的来源。

例子与边界

三叶结的四个配对值

取由两张圆盘、三条同向半扭转带构成的标准三叶结曲面。按从上到下把带记为 $B_1,B_2,B_3$ ：环路 $\alpha$ 沿 $B_1$ 去、沿 $B_2$ 回， $\beta$ 沿 $B_2$ 去、沿 $B_3$ 回，在圆盘内用短弧连接。选择方向使曲面交数 $\alpha\cdot\beta=-1$ 。

按本页正法向约定，两个核心环路自身的推离环绕数均为 $-1$ 。在共用中间带处， $\alpha^+$ 可从 $\beta$ 上方移开而不缠绕，给出 $\operatorname{lk}(\alpha^+,\beta)=0$ ；反向配对的局部推离出现两个正混合交叉，给出 $\operatorname{lk}(\beta^+,\alpha)=1$ 。因此

V=\begin{pmatrix}-1&0\\1&-1\end{pmatrix},\qquad V-V^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}.

后一式也核对了所选曲面交数。参考讲义的相反“推第二个输入”约定给出转置矩阵，数值一致。

现在逐项计算：

V-tV^{\mathsf T}=\begin{pmatrix}t-1&-t\\1&t-1\end{pmatrix},

所以

\det(V-tV^{\mathsf T})=(t-1)^2+t=t^2-t+1.

乘以 $t^{-1}$ 得对称归一化

\boxed{\Delta_K(t)=t-1+t^{-1}}.

代入 $t=1$ 得 $1$ ；代入 $t=-1$ 得 $-3$ ，其绝对值 $3$ 称为结的行列式，并与三叶结出现非常值模 $3$ 染色相符。

为什么换基不改变答案

若用整数可逆矩阵 $P$ 换同调基，则配对矩阵变为 $P^{\mathsf T}VP$ ，从而

\det\bigl(P^{\mathsf T}(V-tV^{\mathsf T})P\bigr) =(\det P)^2\det(V-tV^{\mathsf T}).

由于 $\det P=\pm1$ ，这个变化甚至不改变行列式本身。改变 Seifert 曲面则更复杂：可能引入新的把手和矩阵稳定化，最终只保持 $\pm t^m$ 意义下的等价类。只证明换基不变，尚不足以证明是结不变量。

完整的机制可以从补空间沿 $F$ 切开来看：把切开的空间按整数层次重复粘接，得到无限循环覆盖， $t$ 记录上升一层。两侧包含映射在合适同调基下分别由 $V$ 与 $V^{\mathsf T}$ 表示，因此覆盖的一阶同调模具有呈示矩阵 $V-tV^{\mathsf T}$ 。这个模来自结补空间，所以其阶理想与选曲面的方式无关；行列式给出上述多项式。

推论与应用

一个 $2g\times2g$ 矩阵的各条目对 $t$ 至多一次，因此行列式的最高与最低非零指数之差至多 $2g$ 。记这一差为 $\operatorname{span}\Delta_K$ ，就有

g(K)\ge\frac12\operatorname{span}\Delta_K.

三叶结的对称多项式从 $t^{-1}$ 到 $t$ ，跨度为 $2$ ，故亏格至少为一；前面的 Seifert 构造给出亏格至多为一，合起来才证明 $g(K)=1$ 。

Alexander 多项式不区分镜像三叶结，因为镜像只使这个多项式在允许的单位因子下变成同一个值。相同多项式不能反推相同结型；Jones 多项式会提供另一种检测。对于多分支链环，矩阵大小、零值情形和归一化要另行说明，不能直接套用本页针对单个结的全部公式。

参考资料

José Pedro Quintanilha，Knot Theory, Lecture 8: The Alexander Polynomial，pp. 10–13，Seifert 矩阵、无限循环覆盖呈示、三叶结计算与亏格下界。讲义采用推离第二个输入的转置约定。
W. B. R. Lickorish，An Introduction to Knot Theory，Ch. 6 “The Alexander Polynomial”，pp. 49–65。

形式陈述 ​

三叶结的四个配对值 ​

为什么换基不改变答案 ​

反向链接

形式陈述

三叶结的四个配对值

为什么换基不改变答案