辫群与闭包

把 $n$ 个点在平面上随时间移动，要求它们永不碰撞，运动轨迹就形成辫。相隔较远的两次交换可以互换顺序；相邻三点的两套交换对应三股滑移，产生 Artin 的三项关系。高度单调保证我们研究的是受约束的运动，而不是任意一组空间绳段。

将每个底端从辫外侧接回同位置的顶端，得到辫的闭包 $\hat{\beta }$，它是一个有向链环公理库结与链环Knot and link把结定义为圆在三维空间中的嵌入，区分结型、链环分支、投影图与过欠交叉，并验证三叶结参数化。。闭合后原先的起点层面不再特殊，股数也不再由链环本身唯一决定，因此许多不同辫会有同一个闭包。

两股辫已经显示“置换不够” ​

$B_2$ 只有生成元 ${\sigma }_1$，没有其他定义关系，所以 $B_2\cong \mathbb{Z}$。端点置换只读取指数的奇偶：偶次回到原位置，奇次交换位置。因此 $1$ 与 ${\sigma }_1^2$ 的置换相同，但它们在辫群中不同。

闭包也不同：$\hat{1}$ 是两个分开的圆，$\widehat{{\sigma }_1^2}$ 是环绕数公理库链环的环绕数Linking number两个有向分支的混合交叉符号和的一半给出整数环绕数，计算 Hopf 链环并解释方向、交叉改变与零值的边界。为一的 Hopf 链环。$\widehat{{\sigma }_1^3}$ 则只有一个分支，是三叶结。一般地，闭包的分支数等于端点置换的循环个数，因为沿一股走到底、接回顶部后，正是在沿该置换的循环追踪。

辫字的指数和给出同态 $B_n\to \mathbb{Z}$：两类 Artin 关系的两边都有相同指数和，约去 ${\sigma }_i{\sigma }_i^{-1}$ 也不改它。因此 ${\sigma }_i^2$ 不可能是单位元。这为“不是置换群”提供了代数证明。

三股关系如何保持实体股次序 ​

局部图

可按三条实体股追踪：第一条始终从其余两条上方经过，第二条只从第三条上方经过。两边改变的是交叉发生的高度顺序，没有改变任意两股的上下关系。它正对应 III 型变换公理库Reidemeister 变换Reidemeister moves · Reidemeister theorem三类局部图变换恰好生成 tame 结的环境同痕，说明交叉数和 writhe 的变化以及不变量应如何逐类验证。，而不是让股线互相穿透。

从所有链环到闭辫 ​

Alexander 定理断言每个有向 tame 链环都能表示为某个辫的闭包。其构造机制是选一根轴，将图中的弧调整为一致绕轴前进；逆向的弧通过局部拉长替换为顺向弧，保持链环型。定理提供存在性与一种构造过程，并不保证得到最少股数。

Markov 定理进一步说明两个辫闭包何时同痕：在所有 $B_n$ 的不交并中，等价关系由两类操作及其逆生成：

• 在同一个 $B_n$ 中共轭：$\beta \mapsto \alpha \beta {\alpha }^{-1}$
• 稳定化：把 $\beta \in B_n$ 嵌入 $B_{n+1}$，再变成 $\beta {\sigma }_n^{\pm 1}$

共轭对应移动闭包的切开位置；稳定化多加一股及一个交叉，但闭合后只相当于局部扭圈。只在固定 $n$ 下检查共轭，不能穷尽闭包等价。

例如 $B_1$ 的单位辫闭包是平凡结。一次正稳定化得到 $B_2$ 的 ${\sigma }_1$，其闭包仍是平凡结，因为唯一交叉可由 I 型消去。这两个辫甚至不在同一个群中，却代表同一个结。相反，不能把 $B_2$ 的单位元直接当作 $B_1$ 单位元的稳定化：缺少那一次交叉会留下两个分支。

Jones 多项式公理库Jones 多项式与 Kauffman 括号Jones polynomial · Kauffman bracket把两个平滑的状态和归一化为 Jones 多项式，逐项核验扭圈校正并完整求出三叶结的八状态和。的原始构造通过辫群表示与特殊迹，分别抵消共轭与稳定化的影响。这个背景解释了为什么“在辫群关系下不变”还不足以得到链环不变量；还须通过 Markov 两类操作的检查。