结的亏格与连通和

亏格数的是：要让这个空间绳圈成为一张双面曲面的边界，至少需要几个把手。某张图的 Seifert 算法通常容易给出一张曲面，因此容易得到上界；证明所有更简单曲面都不可能存在，才是下界的困难。

连通和把两个打结部分放在绳圈上相邻的两个区域。用窄带连接两张曲面的边界，不会创造额外把手，所以上界看得见。可加定理更强：它还说不能利用整体摆放把其中一部分所需的把手“借给”另一部分，从而把总数压低。

三叶结的上下界必须同时给 ​

三叶结的标准三交叉图有两个 Seifert 圆、三条带，因此构造曲面的 Euler 示性数公理库欧拉示性数Euler characteristic以胞腔交替计数或同调群秩交替和定义的拓扑不变量。为 $2-3=-1$。边界一个分支，$\chi =1-2g$，所以构造曲面亏格为一，得到 $g(K)\le 1$。

另一方面，Alexander 多项式公理库Alexander 多项式与 Seifert 矩阵Alexander polynomial · Seifert matrix由 Seifert 曲面上的推离环绕数构造矩阵，解释行列式的不变量来源，并完成三叶结多项式与亏格下界计算。为 $t-1+t^{-1}$，最高和最低指数相差 $2$。任何亏格为 $g$ 的 Seifert 曲面给出 $2g$ 阶矩阵，因而多项式跨度至多 $2g$，所以 $g(K)\ge 1$。合起来得到 $g(K)=1$。

也可以用平凡结判别替代多项式下界：亏格为零、边界只有一个圆的可定向曲面是圆盘；一个光滑嵌入圆盘的边界是平凡结。而三叶结的结群公理库Wirtinger 结群表示Wirtinger presentation · Knot group用图的弧作为子午线生成元、交叉作为共轭关系，完整化简三叶结群并构造到 S₃ 的满同态。非交换，所以不是平凡结，亏格不能为零。这里用到了“嵌入圆盘”，单纯写一个可能自交的圆盘映射没有这种结论。

两个三叶结的连通和 ​

把两张亏格一、各有一个边界分支的曲面沿边界作窄带连接。得到一张连通曲面，Euler 示性数为

新边界仍只有一个分支，所以 $1-2g=-3$，得到 $g=2$，即上界 $g(K\mathrm{\#}K)\le 2$。

配对环路可以分别留在两张原曲面上，使跨两块的环绕数为零，因此 Seifert 矩阵为块对角矩阵，多项式相乘：

跨度为 $4$，给出 $g(K\mathrm{\#}K)\ge 2$。因此这个具体例子不用完整可加定理也能独立核验答案为二。

可加定理的证明机制 ​

一般上界完全由刚才的边界连接构造给出。下界取连通和结的一张最小亏格曲面 $F$，以及把两个打结部分分开的球面 $S$，球面与结交于两个点。把 $F$ 与 $S$ 调成横截位置，再通过压缩、去掉可消交圈和最小交数论证，将交集整理成一条连接这两个边界点的弧。

这一步是证明的实质，不能仅凭画图假定没有其他交圈。沿该弧切开 $F$ 后，得到分别张成 $K_1,K_2$ 的曲面 $F_1,F_2$，且 Euler 示性数关系给出

结合上界即得等式。标准证明对多余交圈的处理见参考资料，那里使用三维嵌入曲面的性质，而不只是抽象曲面分类。

最小亏格不等于最小交叉数，也不等于某一张算法曲面的亏格。不同图可产生不同亏格的 Seifert 曲面，多项式跨度下界也未必总是达到。得到一个上界或一个下界时，应保留不等号，直到两者相遇。

可加性还说明两个非平凡结不能通过连通和互相抵消成平凡结：非平凡结的亏格均至少为一，总亏格为正。这与“镜像是连通和逆元”的直觉相反；镜像可以反转某些符号，却不会把非负的三维亏格变成负数。