Poincaré 引理

闭条件消除了无穷小回路上的不一致。星形条件进一步给出一族统一的路径：每个点都沿直线连接同一个中心。$K$ 沿这些径向路径积分，将 $k$ 次的局部变化还原为 $k-1$ 次数据。

对于一形式，公式只是 $K\omega (x)={\int }_0^1{\omega }_{tx}(x)dt$，即从中心到 $x$ 的路径积分。较高次数的 $t^{k-1}$ 来自另外 $k-1$ 个切向量在径向缩放下同时乘以 $t$。

从时间分解证明同伦恒等式 ​

令 $F:[0,1]\times U\to U$ 为 $F(t,x)=tx$。这是从常值映射 $c_0$ 到恒等映射的光滑同伦公理库同伦Homotopy在连续参数下把一个连续映射变形成另一个连续映射。。将拉回唯一分解为

其中 ${\beta }_t$、${\gamma }_t$ 只含空间微分，次数分别为 $k-1$、$k$。代入一个时间向量与 $k-1$ 个空间向量，得到上面 $K\omega ={\int }_0^1{\beta }_{t}dt$ 的公式；而 ${\gamma }_t=F_t^{\ast }\omega$。

以 $d_U$ 表示空间外微分。由于 $d(dt\wedge {\beta }_t)=-dt\wedge d_U{\beta }_t$，有

拉回与外微分交换，因此 $K(d\omega )={\int }_0^1({\partial }_t{\gamma }_t-d_U{\beta }_t)dt$。加上 $d_{U}K\omega$，空间微分项恰好抵消，微积分基本定理公理库微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。给出

积分区间紧致、被积系数光滑，故 $K\omega$ 光滑且上述微分与积分交换合法。当 $k>0$ 时，常值映射的微分为零，故 $c_0^{\ast }\omega =0$；再用 $d\omega =0$，便得 $dK\omega =\omega$，完成证明。

手算一个原形式 ​

在 ${\mathbb{R}}^2$ 上取 $\omega =dx\wedge dy$。对向量 $v$，有 $\omega (x,v)=x{v}_y-y{v}_x$，于是

再计算 $dK\omega =\frac{1}{2}(dx\wedge dy-dy\wedge dx)=dx\wedge dy$。原形式不唯一：添加任何闭一形式，都不改变其外微分。

零次与全局范围 ​

在零次约定 $Kf=0$，同伦公式成为 $Kdf=f-f(0)$。闭零形式满足 $df=0$，所以在星形域上为常值。由于 ${\mathrm{\Omega }}^{-1}(U)=0$，恰当零形式只有零函数，常数 $1$ 就是闭而非恰当的零形式；这解释了定理为何限定正次数。

穿孔平面上的角形式 $\omega =(-ydx+xdy)/(x^2+y^2)$ 闭而非恰当。小角扇区上有 $\omega =d\theta$，但沿单位圆的积分为 $2\pi$，阻止这些局部原函数粘成全局单值函数。这里星形假设确实失效：原点已被删去；对任何候选中心 $a\ne 0$，连接 $a$ 与 $-a$ 的线段又会经过原点。这一例的完整全局计算见 de Rham 上同调公理库de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。。

证明中的时间分解并不依赖 $F(t,x)=tx$。对任意光滑同伦 $G:[0,1]\times M\to N$，把 $G^{\ast }\alpha$ 的 $dt$ 系数积分，所得算子 $K_G$ 满足

因此闭形式经两个光滑同伦映射拉回后只差一个恰当形式。这直接给出 de Rham 上同调的光滑同伦不变性，并可用于把穿孔平面上的计算转移到圆周。

局部恰当还说明全局障碍藏在重叠区域的粘合中。对一形式，两个局部原函数之差在重叠区域的每个连通分支上为常数；如何同时消去这些常数，是从局部积分进入整体拓扑的问题。

Darboux定理公理库Darboux 辛坐标定理Darboux theorem in symplectic geometry用径向原始形式与固定中心的Moser流证明辛形式局部标准化，并明确流存在和全局失效边界。使用同一个径向算子，把辛形式与其中心点常系数模型之差写成 $d\sigma$。若该差在中心为零，径向原始形式还满足 $\sigma =O(|x{|}^2)$；随后Moser流固定中心，并在缩小邻域后把整个形式变成标准配对。