流形上的 Stokes 定理

外微分把一个沿低维方向累积的量变成它的局部变化量。对很多小块相加时，相邻小块共有的边界方向相反，内部贡献抵消，最终只剩区域真正的外边界。这解释了为何边界方向不是额外装饰，而是等式能否成立的符号数据。

严格证明先用单位分解公理库单位分解Partition of unity用局部有限、非负且和为一的光滑函数族从属于开覆盖并粘合局部构造。把紧支撑形式拆进有限个坐标图。无边界坐标图中的积分由紧支撑消去两端项；边界图化为半空间，沿法向坐标用一维微积分基本定理公理库微积分基本定理Fundamental theorem of calculus积分与求导在适当连续性条件下互为逆过程。，恰好留下边界值。若 $\sum _i{\rho }_i=1$ 于支撑附近，则

所以局部公式可以相加为全局公式。光滑图册负责坐标转换，定向保证每个局部计算使用一致符号。

标准定向区间 $[a,b]$ 的边界是带正号的 $b$ 与带负号的 $a$。对零形式即函数 $f$，公式成为 ${\int }_a^b{f}^{\prime }(x)dx=f(b)-f(a)$，包含了通常的微积分基本定理。

在单位圆盘 $D\subset {\mathbb{R}}^2$ 上取 $\omega =xdy$，则 $d\omega =dx\wedge dy$，故左侧为 $\pi$。边界按逆时针参数化 $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$，$0\le t\le 2\pi$，有

更一般地，$\omega =Pdx+Qdy$ 给 $d\omega =({\partial }_{x}Q-{\partial }_{y}P)dx\wedge dy$，就是 Green 公式。三维一形式给经典旋度积分公式；若 $\mu$ 是 Euclidean 体积形式，取 $\omega ={\iota }_F\mu$，则 $d\omega =(\mathrm{div}F)\mu$，得到散度定理公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。。

非紧情形不能仅凭两侧积分都收敛就删除紧支撑。取无边界流形 $M=\mathbb{R}$ 与零形式 $f(x)=\arctan x$，则

这里 $f$ 非紧支撑，差值来自截断区间两端在无穷远仍有净贡献。更一般的非紧版本须控制这种无穷远边界项，而不仅是积分存在。

在紧致无边界的定向 $M$ 上，每个恰当顶次形式 $d\eta$ 的积分为零。对较低次数形式，若循环是有限光滑奇异链，单形版本的 Stokes 同样说明恰当形式在循环上积分为零；另一方面，闭形式在边界上积分为零。这两项分别保证积分不依赖形式代表和循环代表。de Rham 定理公理库de Rham 定理de Rham theorem · 德拉姆定理构造积分上链映射，通过光滑小链证明它与 Mayer–Vietoris 连接同态相容，再以有限好覆盖归纳证明积分同构。页处理单形的角点与交错边界，由此构造积分上链映射，再通过局部到整体的比较得到上同调同构。

若同时反转 $M$ 和诱导边界的定向，两侧都变号，等式保持；只反转边界则会破坏原公式。PDE 的分部积分和弱形式、物理守恒律及 Gauss–Bonnet 的局部到整体积分论证都使用这种内部导数与边界项的对应。$d^2=0$ 则保证连续两次外微分没有新贡献，与边界的边界为空相呼应。