外微分

一次形式测量沿曲线的累积量，外微分测量这种量绕微小闭合边界的净累积；二次形式的外微分则相应联系体积内部与表面通量。这一图像由 Stokes 定理严格表达，而算子本身不需要先选择长度、角度或 Riemann 度量。

$d^2=0$ 来自两种对称性的抵消：光滑函数的混合偏导对指标交换对称，$d{x}^i\wedge d{x}^j$ 却反对称。再次微分产生的 $i,j$ 两项因而成对抵消。它不是“求导两次总为零”，而是特定反对称化运算的结论。

平面上 $\omega =Pdx+Qdy$ 给出

这里 $dy\wedge dx=-dx\wedge dy$ 负责负号。若 $\omega =xdy$，则 $d\omega =dx\wedge dy$；沿单位正方形逆时针积分，只有右边那条竖边贡献 $1$，与正方形内部面积积分一致。

形式满足 $d\omega =0$ 时称闭，能写成 $d\eta$ 时称恰当。恰当必闭，反向不保证。穿孔平面上的

可直接计算得 $d\omega =0$。沿 $\gamma (t)=(\cos t,\sin t)$、$0\le t\le 2\pi$ 拉回得到 $dt$，故积分为 $2\pi$。若它等于某个全局 $df$，闭合曲线积分应为起终点函数值之差 $0$，矛盾。

局部选定角度分支后，上例又可以写作 $d\theta$。一般地，正次数的闭形式在足够小的坐标球上恰当，这是 Poincaré 引理公理库Poincaré 引理Poincare lemma · Poincaré lemma · 庞加莱引理星形开域上的正次数闭形式具有可由径向积分构造的原形式。，径向积分算子给出构造性证明；必须注明正次数，因为闭零形式是局部常值函数，并不是负一次形式的外微分。

由 $d^2=0$，恰当形式包含在闭形式中，商空间

记录闭形式不能全局积分为原形式的障碍；在 $k=0$ 时约定 ${\mathrm{\Omega }}^{-1}(M)=0$。这是 de Rham 上同调公理库de Rham 上同调de Rham cohomology · 德拉姆上同调将闭形式模去恰当形式，并用周期积分计算局部原形式无法全局粘合的障碍。，把局部微积分与全局拓扑联系起来。角形式的非零周期只证明一个类非零；要算出整个穿孔平面的 $H^1$，还需证明任意零周期闭一形式恰当，de Rham 上同调条目通过圆周上的周期函数分解和光滑径向同伦完成这一计算。

流形上的 Stokes 定理公理库流形上的 Stokes 定理Stokes' theorem on manifolds紧支撑微分形式的外微分在流形上的积分等于该形式在边界上的积分。把 $d$ 与边界积分对应。把外微分解释成三维中的梯度、旋度或散度时，还要使用欧氏度量和定向来识别向量场与不同次数的形式；这些额外识别不是外微分定义本身的一部分。

辛流形公理库辛流形Symplectic manifold区分辛形式的闭性与非退化，计算球面面积，并用体积积分排除S4上的辛结构。给二形式加上闭与非退化两个独立条件。$d{x}_1\wedge d{y}_1+e^{x_1}d{x}_2\wedge d{y}_2$ 处处非退化却不闭，说明高维中不能只看配对矩阵；紧闭情形再由Stokes得到辛类及其顶次幂非零的整体限制。