谱配置法

有限差分常用附近几个点描述局部斜率；全局谱配点把所有节点连成一张光滑曲面，再精确微分这张有限维曲面。微分矩阵通常稠密，因为一个节点值变化会影响整张插值多项式。

“配点”约束的是残差在选定节点处为零；Galerkin 方法公理库Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。约束的是残差对检验空间正交。两种方法都先选有限维空间，但让方程成立的方式不同。

三个点解一个边值问题 ​

解 $-u^{″}=2$、$u(-1)=u(1)=0$。取节点 $-1,0,1$，唯一内部未知值记为 $v$。满足端点条件的二次插值多项式只能是 $p_2(x)=v(1-x^2)$。在内部节点 $0$ 配点给出 $-p_2^{″}(0)=2v=2$，所以 $v=1$，得到 $p_2=1-x^2$。

这次解恰好落在试探空间中，因此方法精确恢复它。若右端换成 $e^x$，同样三个点只能产生一个二次近似，需增加节点并检查误差。节点残差为零表示离散方程被解开，并不直接保证节点之间或真实解的误差小。

边界条件怎样进入矩阵 ​

令 $D^{(2)}=D^2$，把端点未知值固定后，内部系统为

这里 $I$、$B$ 分别是内部与边界索引。先删掉微分矩阵端点行列，再对缩小后的 $D$ 平方，通常得不到同一个二阶算子；边界值参与微分的作用会丢失。

算法依次选择适合边界的节点、构造导数算子、施加边界条件、求解、在独立检验点评估残差与误差。直接存储稠密矩阵需 $O(N^2)$ 空间，通用线性求解约 $O(N^3)$；快速变换和结构化求解可减少成本。

光滑度决定谱空间的逼近能力，离散稳定性决定小残差能否转成小误差。间断、边界层或复杂几何可采用分段、映射或局部谱元处理。Chebyshev 微分矩阵公理库Chebyshev 微分矩阵Chebyshev differentiation matrix从 Lobatto 插值基函数导出稠密微分矩阵，并用多项式精确性与混叠反例核验算子。是区间问题的一种具体实现。