Chebyshev 微分矩阵

每个节点有一个“在自己位置为一、其他节点为零”的插值基函数 ${\ell }_j$，而 $D_{ij}={\ell }_j^{\prime }(x_i)$。利用重心权重公理库重心 Lagrange 插值Barycentric Lagrange interpolation · Barycentric interpolation预计算重心权后以线性成本求值 Lagrange 插值多项式，并说明节点命中、权重尺度与数值稳定性的条件。 $w_j\propto (-1{)}^j/c_j$，非对角元是 $w_j/[w_i(x_i-x_j)]$，立即给出上述公式。

所有基函数相加等于一，对它求导得到每一行之和为零。因此 $D\mathbf{1}=0$ 既是数学恒等式，也是实现最先应检查的不变量。端点聚集让高阶插值更稳定，也使端点导数系数随 $N^2$ 增大。

完整写出三点算子 ​

取 $N=2$，节点为 $(1,0,-1)$，则

对常数向量 $(1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$，乘积为零。对 $f(x)=x^2$，节点值是 $(1,0,1{)}^{\mathsf{T}}$，乘积为 $(2,0,-2{)}^{\mathsf{T}}$，恰为 $2x$ 的节点值。再乘一次 $D$ 得到 $(2,2,2{)}^{\mathsf{T}}$，符合二阶导数。

作为反例，$f(x)=x^3$ 在这三个节点的值与 $x$ 完全相同，因此 $Dv=(1,1,1{)}^{\mathsf{T}}$；真实导数值却是 $(3,0,3{)}^{\mathsf{T}}$。矩阵没有算错，它精确微分的是三点能识别的线性插值，而三点无法辨别这两个函数。

区间尺度与舍入 ​

在一般非退化区间 $[a,b]$（$a<b$）上，令 $x=(a+b)/2+(b-a)\xi /2$，则 $D_x=2D_{\xi }/(b-a)$，二阶矩阵乘尺度平方。节点顺序和端点索引必须一起变换，符号错误常来自只反转了向量而没反转矩阵。

高阶矩阵中的大系数会放大噪声与舍入误差。对有测量噪声的函数值，增加节点并不等于导数更准确；可能需要平滑、正则化或降低近似阶数。

直接构造、存储及一次矩阵向量乘法均需 $O(N^2)$ 量级。使用余弦变换在值与系数之间切换，可在 $O(N\log N)$ 量级进行谱微分。两者表示同一个插值微分操作，数值实现的舍入行为不同。

用于边值问题时，应先构造完整高阶导数，再按边界条件消元或替换方程。对常数、一次和二次多项式的检查，比只观察最终图像是否平滑更容易定位实现错误。