辛映射

辛结构记录的是位置与动量方向之间的定向面积配对。在二维相空间中，它就是定向面积；高维中还记录不同共轭方向如何配对，比只记录总体体积更细。

可以把保体积想成一个多维盒子的总体大小不变，而保辛还限制了盒子沿位置—动量配对方向的变形。数值积分器保辛，是让离散一步尊重这项几何结构。

一个保辛剪切 ​

一自由度映射 $Q=q+hp,P=p$ 的矩阵为 $M=\left(\begin{array}{cc}1& h\\ 0& 1\end{array}\right)$。直接相乘得到 $M^{\mathsf{T}}JM=J$。任意 $h$ 都保辛，但若真实能量是 $H=(q^2+p^2)/2$，一般有 $H(Q,P)\ne H(q,p)$。因此单独保辛不等于保持指定能量。

体积保持何时不够 ​

二维矩阵恒满足 $M^{\mathsf{T}}JM=(\det M)J$，所以二维中行列式一恰好等于保辛。四维中取坐标顺序 $(q_1,q_2,p_1,p_2)$，令

它的行列式为一，却把 $q_1,p_1$ 的辛配对乘二，把 $q_2,p_2$ 的配对乘一半，因此不是辛矩阵。对多自由度问题，只检查行列式会漏掉这种失配。

对可复合的两个辛映射，链式法则公理库链式法则Chain rule复合映射的导数等于各层导数按计算顺序组成的线性映射复合。给出 $D(\mathrm{\Psi }\circ \mathrm{\Phi })(z)=D\mathrm{\Psi }(\mathrm{\Phi }(z))D\mathrm{\Phi }(z)$，代入两次 $J$ 恒等式便知复合仍保辛。该恒等式及 $J$ 的非退化性还保证 $D\mathrm{\Phi }$ 处处可逆；逆函数定理公理库逆函数定理Inverse function theorem导数可逆的光滑映射在该点邻域内存在光滑局部逆。在每点给出光滑局部逆，而全局双射保证这些局部逆在交叠处一致，从而组成光滑的 ${\mathrm{\Phi }}^{-1}$。再对反函数恒等式使用链式法则，得到 $D{\mathrm{\Phi }}^{-1}(y)=D\mathrm{\Phi }({\mathrm{\Phi }}^{-1}(y){)}^{-1}$，代回 $J$ 恒等式可知逆映射也保辛。它也保持相空间体积；从最高次外积 ${\omega }^d$ 可见定向体积被保留，线性判据给出的行列式实际为 $+1$。

检查数值映射时，可计算 $\Vert D{\mathrm{\Phi }}^{\mathsf{T}}JD\mathrm{\Phi }-J\Vert$，同时注明 Jacobian 的计算误差。这项检查与时间可逆性、能量误差、体积误差分别对应不同性质，应分别测试。

辛 Euler公理库辛 Euler 方法Symplectic Euler method以更新后的动量推动位置，构造一阶辛方法，并在谐振子上精确计算稳定区和离散不变量。和适当的隐式 Runge–Kutta 方法能保持辛结构；长期能量行为还需要步长、光滑度和有界轨迹条件，由后向误差分析公理库修正方程与后向误差分析Modified equation · Backward error analysis of integrators逐阶构造邻近动力学，明确形式修正级数、有限截断与特殊精确嵌入之间的区别。解释。