条件随机化检验

把其余协变量和响应保留不动，问：“如果这一列在给定背景后确实不携带额外响应信息，它还会怎样变化？”已知条件核给出合法的替代列。原列与这些列在零假设下具有同样地位，于是原分数的相对秩可以校准。

条件化不是把所有变化都消掉，而是保留背景已解释的关联。某个协变量与响应在边缘上高度吻合，也可能完全由另一个变量解释；这时复制列仍应该保留这种吻合频率。把整列随便洗牌可能恰好破坏了应当保留的结构。

本页与置换检验理路置换检验Permutation test · Randomization test利用零假设下数据对一组变换的分布不变性，构造有限样本精确检验。共享秩思想，参考分布却不必来自一个均匀的有限置换轨道。它也不假设观察研究真的随机分配过该变量；这里的随机化是模型提供的条件模拟，不能由此直接推出因果解释。

背景使正确参考远离均匀洗牌 ​

设各行独立，$Z\sim \mathrm{Bernoulli}(1/2)$，$Y=Z$；给定Z后，$P(X=Z\mid Z)=9/10$。因为Y在给定Z后已经确定，$Y\perp X\mid Z$成立，虽然X与Y边缘上通常相同。

在四行中观测到$z=y=(0,0,1,1)$、$x=z$。取评分$T(x,z)=\sum _{i=1}^4\mathbf{1}\{x_i=z_i\}$，当前$T_0=4$。正确条件参考给每行独立的匹配概率$9/10$，所以完整尾概率为

若误把两个0与两个1在四个位置均匀重排，六种不同列中只有一种全匹配，就会报告$1/6$。在$\alpha =1/5$处它拒绝，而仅“原列全匹配”这一个事件的条件概率已是$6561/10000>1/5$。

失败也会体现在无条件level：四行Z恰有两个1的概率为$(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2})/16=3/8$；在这六种背景下，全匹配都触发错误拒绝。因此该均匀置换规则的总体错误概率至少为

增加洗牌次数不能修复这个问题，因为错的是参考律。正确有限枚举应给每个$x\in \{0,1{\}}^4$质量$(9/10{)}^{T(x,z)}(1/10{)}^{4-T(x,z)}$，而非给六种列相同权重。

分辨率与并列 ​

式(3)的最小值是$1/(M+1)$。按“$\le \alpha$”拒绝、目标$\alpha =1/20$时，至少需要$M=19$才可能拒绝；这只保证网格允许拒绝，不保证具有足够功效。模拟分数与原分数并列时计入分子，所有分数相同则$\hat{p}=1$。

例如M=9、原分数4，模拟分数为$(4,4,3,4,2,3,4,4,3)$，五份达到原分数，故$\hat{p}=6/10$。它不同于式(5)的完整尾概率，但只要这些分数确由合法独立条件模拟产生，有限秩规则本身仍有式(4)的校准。

冻结一次不对称拟合可以使错误率为一 ​

取$n=p=1$，$X\sim \mathrm{Uniform}(0,1)$，Y与X独立。用观察值$x_0$“训练”记忆函数$h(v)=\mathbf{1}\{v=x_0\}$，原分数设为$h(x_0)=1$，随后固定h给连续重抽样值评分。所有模拟分数几乎必然为零，于是M=19时$\hat{p}=1/20$，在5%水平下总是拒绝一个真零假设。

问题不是模型太复杂，而是原列被用于挑选h，复制列没有经历同一个流程。如果每份输入都重新运行同一记忆式训练，再在自己的训练点评分，则全部分数都为1，p值为1，校准恢复但没有功效。另一种合法办法是使用与当前样本独立的外部训练资料；条件于外部资料后，评分对全部列相同。

随机拟合也要保持对称：各份数据使用同分布独立种子，或使用一份独立共同种子且条件于它仍为相同函数，都可建立可交换性。只为原列多试几个种子、选最好结果再与单次复制比较，则没有这项保证。

先证明列的条件同分布，再证明秩 ​

在$H_j$下，正则条件核满足

几乎处处。IID行使给定B后的原列服从式(2)的乘积核。原列与M个新列因此条件IID；应用同一评分函数，得到条件可交换分数理路可交换随机变量Exchangeable random variables · Exchangeability · 可交换性从有限坐标置换对称性走到无限 Bernoulli 序列的唯一混合表示，并用矩判断无限延拓的边界。$T_0,\dots ,T_M$。

令N=M+1。对任意已经固定的分数向量，定义每个位置的保守大值秩

对每个整数$k$，至多有k个位置满足$R_i\le k$。证明可按分数由大到小分组：一个并列组的R值是截至该组的总位置数，若它超过k，则该组及后续组均不合格；若不超过k，已合格的位置总数就不超过k。

用可交换性把各位置的概率平均，并注意$\hat{p}=R_0/N$，便得到

这直接验证式(3)是一项超均匀p值理路p 值p-value在零假设下校准的证据统计量，其小值事件的概率不超过对应阈值。，并完整包含离散分数与并列。给背景再取期望即可得到无条件level。

预算与评分流程都是算法输入 ​

合法实现可以逐列生成：保存$T_0$和超过计数，模拟一列、重算T、更新计数，最后输出加一比例。若一行条件抽样成本为$C_Q$、一次完整评分成本为$C_T$，总成本为$O(Mn{C}_Q+(M+1)C_T)$；除原数据和评分器自身所需空间外，重抽样仅需$O(n)$列缓冲和常数计数空间。若每次T都要重新训练大模型，这部分成本不能被省略成“只生成M列”。

一个错误的停止规则是：保留同一个连续原分数$T_0$，每次只抽一个参考分数，直到首次$T_b<T_0$，便丢弃先前失败批次并报告p=1/2。若全部分数在真零下IID Uniform$(0,1)$，条件于$T_0=t\in (0,1)$，每次成功概率t，所以这项规则几乎必然停机，最终以概率1报告p=1/2。在$\alpha =1/2$处错误率为1。有限加一公式不允许这样选择所报告的那次模拟。

单项有效不自动解决全部选择问题 ​

对多个j分别运行CRT，会得到各自有效的边缘p值；这些p值一般相互依赖。是否能使用普通BH，应另核其依赖条件，不能从各项式(4)直接推出。已有任意依赖多重检验规则可按自己的合同组合这些p值；那是额外的选择步骤。

图左采用完整终点中不同背景概率的四行模型，并进一步条件于总数为二；每种允许列仍需保留自己的权重。图右则对四个真零符号反复作Knockoff+，最后挑有发现的一次：单次合法并不自动校准这个额外选择。两边分别改变了参考条件与报告流程。

Model-X Knockoff理路Model-X Knockoff 构造Model-X knockoffs · Model X knockoff · 模型X替身变量 · Gaussian knockoffs由已知协变量联合律构造逐对可交换的替身，在任意响应核下检验条件关联，并给高斯生成及独立复制失效的完整反例。改为构造一套在各原/替身对之间联合可交换的数据，再以符号阈值直接控制整个选择集。CRT只需被检验单列的真实条件核，Model-X需要一套兼容的联合复制机制。两者都能处理任意响应核，但核输入与误差输出不能混写。