相关系数的 Fisher z 变换

相关系数挤在 $(-1,1)$ 中，靠近边界时同样大小的变化具有不同含义。反双曲正切把两端拉向无穷，并在接近边界处拉得更强。

二元正态下，样本相关的一阶方差含因子 $(1-{\rho }^2{)}^2$；Fisher 变换的导数恰为 $1/(1-{\rho }^2)$，所以线性误差传播后，两者抵消。这就是“方差稳定”的具体机制。

回到相关尺度时必须把两个端点分别用 $\tanh$ 变回去。变换后的区间一般不再围绕 $r_n$ 对称，而且始终落在合法范围内；这种不对称是几何本身的结果。

三十个观测，相关为零点六 ​

取 $n=30,r=0.6$。变换值为

使用 $1/\sqrt{27}$ 作为近似标准误、标准正态 $97.5\mathrm{\%}$ 分位数 $1.959964$，变换尺度的区间为

对两个端点分别取 $\tanh$，得到相关尺度的近似 $95\mathrm{\%}$ 区间

它不是 $0.6$ 加减同一个半宽。特别不能把 $z$ 尺度上的常数标准误直接挪到 $r$ 上；例如 $r=0.9,n=30$ 时，错误地使用 $r\pm 1.96/\sqrt{n}$ 会给出大于一的上界。

非正态下，方差未必被稳定成一 ​

取独立标准正态 $U,V$，另取独立正变量 $R$，使 $R^2$ 以各一半概率等于 $1/2$ 或 $3/2$。令 $X=RU,Y=RV$。有 $E{X}^2=E{Y}^2=1$、$EXY=0$，所以 $\rho =0$，但共同随机尺度使它们不是独立二元正态。

此时样本相关的一阶影响项是 $XY$，方差为

在零相关处 $z^{\prime }(0)=1$，因此变换后的一阶方差系数仍为 $5/4$，不是一。存在有限四阶矩也不足以恢复 Gaussian 专属的单位系数。

边界、依赖与样本量 ​

$n=2$ 时，非退化两点样本的相关绝对值恒为一，变换无穷；$n=3$ 时常用的 $n-3$ 修正也无法使用。总体 $|\rho |=1$ 是退化边界，不属于本页固定内部参数的定理。

时间相关或簇相关样本的有效波动不能由原始行数直接代入。样本相关非常接近边界、模型偏离正态或样本很小时，也不能仅凭变换后的数值有限就认定正态近似已经良好。

先推导相关系数的一阶误差 ​

相关不受分别平移与正比例缩放影响，所以证明时可设 $EX=EY=0$、$E{X}^2=E{Y}^2=1$、$EXY=\rho$。令三项未中心化样本矩为

样本中心化只会分别减去 ${\overline{X}}^2,{\overline{Y}}^2,\overline{X}\overline{Y}$，它们都是 $O_P(n^{-1})$，不改变根号样本量的一阶项。对 $h(a,b,c)=c/\sqrt{ab}$ 在 $(1,1,\rho )$ 处展开，梯度为 $(-\rho /2,-\rho /2,1)$。因此

二元正态的四阶矩给出

例如写 $Y=\rho X+\sqrt{1-{\rho }^2}V$、$V$ 独立标准正态，再用 $E{X}^4=3$ 就能逐项验证。代入后

独立同分布的影响项具有零均值与有限方差，中心极限定理公理库中心极限定理Central limit theorem适当归一化的独立随机变量和在分布上趋于正态分布。给出 $\sqrt{n}(r_n-\rho )\Rightarrow N(0,(1-{\rho }^2{)}^2)$。

第二次线性化稳定方差 ​

由 Delta 方法公理库Delta 方法Delta method用可微映射的一阶 Taylor 展开传播估计量的渐近分布与协方差。，

这就是单位方差的来源。一阶定理只区分 $1/n$ 的主尺度，无法在 $1/n,1/(n-1),1/(n-3)$ 这些同一阶表达中单独选出高阶修正。更精细的小样本近似需要进一步分析；不能把常用修正倒写成一阶证明的结果。

比较两个独立相关估计 ​

若两份样本彼此独立、各自来自二元正态模型，样本量为 $n_1,n_2>3$，则在两总体相关相等的原假设下，常用近似统计量为

独立性使两份方差相加。若两个相关来自同一份数据、共享一个或多个变量，必须加入协方差项，不能把这条两独立样本公式直接套上。