量子不可广播定理

对易态共享一套经典读出基，装置能复制基标签，再把未知概率分布保存在两侧。非对易态则包含无法同时当作经典标签读取的信息；保留两份正确边缘也会遇到这个障碍，即使允许两份相互相关。

对易方向的显式构造 ​

两两对易的 Hermitian 算子可在同一正交基下对角化：先对任一非标量成员应用谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。，其余成员因对易而保持各特征子空间，再在这些子空间内递归。每次非平凡分解都降低块维数，有限维下最终各成员在每块上均为标量。若所有态都在基 $\{|i⟩\}$ 下对角，写为 $\rho =\sum _i{p}_i|i⟩⟨i|$。先测该基，结果为 $i$ 时制备 $|ii⟩$，得到

每个边缘恰为 $\rho$。协议不必知道各个 $p_i$，同一信道对全部该基下对角态都有效。

必要性用了什么 ​

固定两输入 $\rho ,\sigma$，令 $\tau =(\rho +\sigma )/2$。若同一信道广播二者，线性性也保证它广播 $\tau$。在共同支撑 $K=\mathrm{supp}(\rho +\sigma )$ 上，$\tau$ 严格正，并且 $\rho ,\sigma ⪯2\tau$，所以 $D(\rho \Vert \tau )$ 与 $D(\sigma \Vert \tau )$ 都有限。这个混合参考态避免了 $D(\rho \Vert \sigma )=\mathrm{\infty }$ 时整条链只是无穷等号的漏洞。

记 ${\mathrm{\Omega }}_{\omega }=\mathcal{B}(\omega )$。对 $\omega =\rho ,\sigma$，量子相对熵的数据处理不等式公理库量子相对熵Quantum relative entropy · Umegaki relative entropy量子相对熵通过谱对数比较两个密度算子；完整特征基展开把其非负性和取等条件化为标量 Gibbs 不等式，并导出最大混态熵差与系综恒等式。沿“广播、再丢弃一侧”给

两步因此都在有限值上取等号，而且丢弃任一侧都必须取等号。必要性的关键是同时饱和这两个偏迹的等号结构，而不是仅凭上面的数值不等式推断对易。Kalev 与 Hen 的相对熵证明分析了这种双侧约束，并得到被广播输入与参考态必须对易。

若要把输入对数都写成共同支撑上的有界算子，可先令 ${\rho }_t=(1-t)\tau +t\rho$、$0<t<1$。它在 $K$ 上严格正，且由线性性同样可广播；双侧等号条件给 $[{\rho }_t,\tau ]=0$，于是 $t[\rho ,\tau ]=0$。最终 $[\rho ,\sigma ]=2[\rho ,\tau ]=0$。输出端的对数与等号条件则在 $\mathrm{supp}{\mathrm{\Omega }}_{\tau }$ 上解释。原始 Barnum 等论文另以 fidelity 的等号条件证明这一结论；两种证明使用不同的可区分性量。

可广播但不是克隆 ​

取 $\rho =\mathrm{diag}(0.3,0.7)$。上述构造给 $0.3|00⟩⟨00|+0.7|11⟩⟨11|$，只出现相同标签。若是 $\rho \otimes \rho$，则 $00,01,10,11$ 的概率应为 $0.09,0.21,0.21,0.49$。边缘完全相同，联合相关却不同。

两个非正交纯态为何连广播也不行 ​

若一个联合态的某个边缘是纯态，其支持只能位于该纯态与另一系统的张量积。因此两边缘都为 $|\psi ⟩⟨\psi |$ 时，联合态必为 $|\psi \psi ⟩⟨\psi \psi |$：纯态广播自动成为克隆。

对 $|0⟩$ 与 $|+⟩$，假设信道的等距实现公理库Kraus 表示Kraus representation · Operator-sum representation · 算子和表示有限维线性映射完全正当且仅当它能写成 Kraus 算子和，保持迹则等价于这些算子的完备性恒等式。将它们克隆并留下环境态 $|e_0⟩,|e_{+}⟩$。保持内积要求

与Cauchy–Schwarz 界公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。 $|⟨e_0|e_{+}⟩|\le 1$ 矛盾。这完整说明了一个非对易子例，混态的一般必要性则引用上面说明的双侧等号结构定理；本页没有仅由数据处理的数值等号重新证明该结构定理。

定理针对同一个未知输入装置。若经典标签直接告诉你输入是哪一个已知态，可以忽略原系统再制备多份，这并不构成对未知态的通用广播。近似广播或只保留某些可观测量的统计，也是较弱任务，需另定误差指标。

广播输出不必纯，而纯化公理库量子态纯化Quantum state purification · Purification of a quantum state量子态纯化将一个混态表示成较大系统中纯态的约化态，最小辅助空间维数等于原态的秩。要求找到具有给定边缘的联合纯态，并且通常依赖已知状态的描述；纯化的存在性不提供一台能够对任意未知输入实现广播的信道。