多项式内容与 Gauss 引理

核心结论及其证明 ​

Gauss 引理。 两个本原多项式的乘积仍本原。因此，对非零 $f,g\in R[x]$，

其中 $\sim$ 表示相差一个单位。进一步，正次数本原多项式 $f$ 在 $R[x]$ 中不可约，当且仅当它在 $K[x]$ 中不可约。

先证乘积本原。假设本原 $f_0,g_0$ 的乘积有非单位系数公因子。在 UFD 中，这个公因子有一个不可约因子 $p$，而不可约元也是素元理路素元Prime element整除乘积时必整除至少一个因子的非零非单位元素。。把每个系数约化到商环理路商环Quotient ring按理想的陪集构造的环。 $R/(p)$ 后，便有

$p$ 为素元保证 $R/(p)$ 是整环，整环上的多项式环也没有零因子。因此至少一个约化多项式为零，即 $p$ 整除原来那个多项式的每个系数。这与本原性矛盾。

把一般 $f,g$ 分别写成 $c(f)f_0,c(g)g_0$，刚证出的本原性说明 $f_0{g}_0$ 不会再产生一个公共系数因子。故乘积的内容正是 $c(f)c(g)$，只需容许单位的选择不同。

接着处理分母。每个非零 $u\in K[x]$ 都可写成 $a{u}_0$，其中 $a\in K^{\times }$、$u_0\in R[x]$ 本原：先乘系数分母的公倍数，再提出内容。若本原 $f$ 在 $K[x]$ 中分解为两个正次数因子，便得到

这里 $u_0{v}_0$ 本原。将 $ab=s/t$ 约分，使 $s,t\in R$ 没有共同不可约因子。由 $tf=s{u}_0{v}_0$ 可知：$t$ 的每个素因子都必须整除 $u_0{v}_0$ 的所有系数，否则它不能从右边消去。于是 $t$ 只能是单位，$ab\in R$。若 $ab$ 仍有非单位因子，它又会整除 $f$ 的所有系数；所以 $ab$ 实际上是 $R$ 的单位。把它吸收到一个因子中，就得到 $R[x]$ 内的正次数分解。

对非本原的非零多项式，先提出内容，对本原部分应用刚才的论证，再把内容吸收回一个因子。因此，一般整数多项式只要存在两个正次数有理因子，也存在两个正次数整数因子；这并不声称两个环的单位相同。

反方向更直接：$R[x]$ 中的正次数分解也是 $K[x]$ 中的分解；而本原多项式不可能带有非单位常数因子。这两点合在一起，才得到两个环中“不可约”的等价。

从分式因子恢复整数因子 ​

考虑

第一个有理因子写成 $\frac{1}{2}(2x+3)$，第二个写成 $2(x+1)$；两个本原部分是 $2x+3$ 与 $x+1$，标量相乘为 $1$。所以

分母并没有创造一种整数中无法表达的分解；它只是把标量暂时分配到了不同因子上。乘回检查得到 $2x^2+(2+3)x+3$，系数和内容都与原式一致。

这个机制还给出常用的首一推论：若 $f\in \mathbb{Z}[x]$ 首一，则它在 $\mathbb{Q}[x]$ 中的首一因子仍属于 $\mathbb{Z}[x]$。上述过程给出整数因子 $u,v$；首项系数满足 $\mathrm{lc}(u)\mathrm{lc}(v)=1$，所以它们都是 $\pm 1$。调整符号后就是原先指定的首一因子。

三个不能混用的概念 ​

本原不等于不可约。$x^2-1$ 的内容为 $1$，却等于 $(x-1)(x+1)$。本原只排除了常数公因子，不排除正次数因子。

本原性也不能从不可约等价中删掉。$2x+2=2(x+1)$ 在 $\mathbb{Z}[x]$ 中可约，因为两因子都不是单位；在 $\mathbb{Q}[x]$ 中，$2$ 已可逆，而一次多项式不可约。比较两个环时，单位的范围变了。

在一般 UFD 中，“系数 gcd 为 $1$”也不等于“系数能线性组合成 $1$”。例如在 $R=F[s,t]$ 中，$sx+t\in R[x]$ 本原，但系数生成的理想 $(s,t)$ 不含 $1$：把 $s=t=0$ 代入即可看出。这解释了证明为何使用逐个素元约化，而没有假设系数存在 Bézout 表示。

这条引理接到哪里 ​

Eisenstein 判据理路Eisenstein 不可约判据Eisenstein criterion · Eisenstein's irreducibility criterion · 艾森斯坦判据用一个素数对各系数及常数项平方整除的约束，排除有理系数中的所有正次数因式分解。与模素数约化判据理路模素数约化的不可约证书Irreducibility by reduction modulo a prime · Reduction mod p irreducibility test在首项不消失的前提下，把有限域上的不可约证明提升为有理系数多项式的不可约证书，并说明无根检查与约化失败的边界。都会先用这里的结论，把可能的有理分解还原成整数分解，再用素数找矛盾。它们不需要重新证明 UFD 的一般结构。

算法中的内容分离已有另一项职责：子结式多项式余式序列理路子结式多项式余式序列Subresultant polynomial remainder sequence · Subresultant PRS以伪除法和可精确消去的首项因子计算多项式 GCD，同时抑制整系数中间膨胀。先控制整系数膨胀，再把输入内容的 gcd 乘回。这里证明的是内容为何有乘法性，不替代那套 GCD 算法。名称中的 Gauss 也应带上“多项式”；它与测地线理路测地线Geodesic由平行速度和固定端点能量的一阶变分刻画测地线，区分仿射参数、长度驻定与全局最短，并为 Jacobi 第二变分构造精确固定端点的变分。中的 Gauss 引理是不同命题。

自测：首一与本原能同时要求吗 ​

把 $x/2+1/3$ 乘一个非零有理数，能否同时得到首一且本原的整数多项式？不能。清分母并去内容得到 $3x+2$，它本原却不首一；若要求首一，就只能乘 $2$，得到 $x+2/3$，又不是整数多项式。Gauss 引理允许控制内容，不保证每个有理多项式都有首一整数代表。