Chebyshev 不等式

这是"方差控制波动"的最直接定量化，证明只有一行：把非负随机变量 $(X-\mathbb{E}X{)}^2$ 交给 Markov 不等式公理库Markov 不等式Markov's inequality非负随机变量超过阈值的概率由其期望除以阈值控制。，注意事件 $\{|X-\mathbb{E}X|\ge t\}$ 与 $\{(X-\mathbb{E}X{)}^2\ge t^2\}$ 相同即可。取平方有两重作用：一是把上下两个方向的偏差合并成一个非负量，所以界天然是双侧的；二是让"跑远"付出平方级的代价——方差是一笔固定的能量预算，要在距离 $t$ 之外安放概率质量，每单位质量花费 $t^2$，于是远处的质量至多 $\mathrm{Var}(X)/t^2$。它对分布形状不作任何假设，这既是弱点（对具体分布往往很松），也是它的力量（不必指定完整分布，只需核实有限方差及所用上界）。

一个立见成效的计算：独立地掷 $n\ge 1$ 次公平硬币，正面数 $S_n$ 的均值为 $n/2$、方差为 $n/4$。代入 $t=n/4$ 得

正面比例偏离 $1/2$ 超过四分之一的概率随 $n$ 消失——只用一次代入就得到了大数律式的结论。

界在"只知方差"的前提下不能再改进：固定 $k>1$，取 $X$ 以概率 $\frac{1}{2k^2}$ 各取 $\pm 1$、以概率 $1-\frac{1}{k^2}$ 取 $0$，则 $\mathbb{E}X=0$、$\mathrm{Var}(X)=1/k^2$，而 $\text{Pr}(|X|\ge 1)=1/k^2$ 恰好取等。但对具体的良态分布它通常很松：正态变量偏离两个标准差的真实概率约 $4.6\mathrm{\%}$，Chebyshev 只能给出 $25\mathrm{\%}$。

适用范围的边界同样清楚：若 $X$ 可积但中心化二阶矩无穷，右端为无穷，界没有内容；Cauchy 分布连均值都不存在，不能写出这里以 $\mathbb{E}X$ 为中心的公式；当 $t\le \sigma$ 时右端不小于 $1$，也没有内容——它只在几个标准差之外才开始说话。想要指数级衰减的尾界，必须补充独立性、指数矩或有界性等结构，改用Chernoff 方法公理库Chernoff 方法与 Chernoff 界Chernoff method · Chernoff bounds从指数矩与 Markov 不等式推导尾界，给出独立 Bernoulli 和的乘法形式、KL 形式及适用条件。或其专门化版本。

最经典的应用是弱大数律公理库弱大数定律Weak law of large numbers · WLLN独立同分布且方差有限时，样本均值依概率收敛到共同期望，并具有 Chebyshev 偏差界。的初等证明：独立同分布样本的均值 ${\overline{X}}_n$ 满足 $\mathrm{Var}({\overline{X}}_n)={\sigma }^2/n$，于是 $\text{Pr}(|{\overline{X}}_n-\mu |\ge \epsilon )\le {\sigma }^2/(n{\epsilon }^2)\to 0$。同一个公式为Monte Carlo 样本均值公理库Monte Carlo 积分Monte Carlo integration · Monte Carlo quadrature将积分改写为随机变量期望，以独立样本均值估计并用方差和概率假设量化随机误差。提供非渐近、无需分布形状假设但通常较松的误差概率界。

若实值估计量序列 $T_n$ 满足偏差 $\mathbb{E}[T_n]-\theta \to 0$，且 $\mathrm{Var}(T_n)\to 0$，则 Chebyshev 给出依概率一致性公理库估计量的一致性Consistency of estimators · Consistent estimator估计误差随实验规模增长而消失的点态、统一、弱与强收敛性质及其证明边界。。对任意 $\epsilon >0$，最终偏差的绝对值小于 $\epsilon /2$，故 $\text{Pr}(|T_n-\theta |\ge \epsilon )\le 4\mathrm{Var}(T_n)/{\epsilon }^2\to 0$。反演方差界也可产生分布无关但较宽的置信集合。它只使用二阶矩，不提供正态形状、精确显著性或统一参数覆盖；要得到这些结论还需极限定理或更强模型。

它也是集中不等式家族的二阶矩基线；若掌握矩母函数公理库矩母函数Moment-generating function · MGF在存在邻域内以 E[e^{tX}] 编码随机变量各阶矩的函数。，可转向 Chernoff 型指数界，Hoeffding 不等式公理库Hoeffding 不等式Hoeffding's inequality独立有界随机变量和偏离期望的概率以平方偏差的指数速度衰减。则利用独立有界条件。在概率组合与随机算法中，Chebyshev 配合方差计算构成二阶矩方法公理库二阶矩方法Second moment method从非负变量的二阶矩证明正概率与相对集中，并逐类计算随机图三角形的精确方差、有限分布和密度极限。；而只掌握均值与方差时，它常常就是唯一可靠的尾界。