KKT 条件

在最优点处，目标梯度公理库梯度Gradient标量函数微分在内积下对应的向量。不能指向任何可行的一阶下降方向。活跃约束 $f_i(x^{\ast })=0$ 的梯度是边界法向量，乘子把这些法向量与等式约束法向量组合起来，恰好抵消目标梯度；不活跃约束还有余量，不应贡献阻力，所以互补松弛迫使对应乘子为零。约束资格保证这些一阶法向量确实足以描述局部可行几何。

考虑 $\underset{x}{min}(x-a{)}^2$，约束 $x\ge 0$，写作 $f_1(x)=-x\le 0$。KKT 驻点为 $2(x-a)-\lambda =0$，另有 $x\ge 0$、$\lambda \ge 0$、$\lambda x=0$。若 $a>0$，最优点 $x^{\ast }=a$，约束不活跃且 ${\lambda }^{\ast }=0$；若 $a<0$，最优点 $x^{\ast }=0$，约束活跃且 ${\lambda }^{\ast }=-2a>0$。同一问题清楚展示了乘子何时消失、何时承担边界法向力。

约束资格不能删。对 $\underset{x}{min}x$，约束 $x^2\le 0$，唯一可行点 $x^{\ast }=0$ 当然是最优点；但驻点方程要求 $1+\lambda \cdot 2x^{\ast }=0$，即 $1=0$，不存在任何 KKT 乘子。失败原因是活跃约束在原点的梯度为零，无法表达真实可行集。由此不能笼统宣称“KKT 当且仅当最优”。

Fisher 市场均衡公理库Fisher 市场均衡与 Eisenberg–Gale 规划Linear Fisher market · Eisenberg–Gale convex program · Fisher 市场均衡用加权对数效用的凸规划刻画线性 Fisher 市场均衡，证明最优分配与价格乘子的双向对应，并计算需要拆分商品的均衡。把 KKT 条件转成完整的市场证书：供给乘子成为商品价格，非负分配的互补松弛保证买家只购买效用价格比最高的商品。将驻点等式乘以实际购买量并求和，会导出每个买家恰好花完预算；反过来，最优需求与商品出清也能重建全部 KKT 条件。

在上述凸问题中，KKT 的驻点先保证 Lagrange 函数达到全局下确界，再由原始可行、对偶可行与互补松弛使两侧目标相等，形成可核验的原始—对偶证书。在线性与二次规划中，活跃集法公理库二次规划的活跃集法Active-set quadratic programming · Working-set method从可行点出发，在工作约束确定的面内求二次下降方向，再用阻挡步长和乘子符号增删约束。通过阻挡步长与乘子符号增删工作约束；中心路径公理库对数障碍函数与中心路径Logarithmic barrier · Central path在严格可行域中加入对数障碍，构造扰动互补条件，并由中心点的对偶证书得到可计算的目标误差界。把互补乘积暂时改为小正数，原始—对偶内点法公理库原始—对偶内点法Primal-dual interior-point method · Primal-dual path following对原始可行性、对偶可行性与扰动互补条件联合取 Newton 步，以保正步长推进，并区分互补量与真正的可行对偶间隙。则对三组残差联合取 Newton 步。在支持向量机中，互补松弛区分支持向量与非支持样本。对不可微凸问题，驻点方程需改用次梯度；若定义域边界没有显式列为约束，还应加入相应法锥。

模型预测控制公理库模型预测控制与终端证书Model predictive control · Receding-horizon control · 滚动时域控制将受约束线性预测写成二次规划，用终端不变性和成本下降证明滚动执行的递归可行与收敛。提供一份可手算的二次规划证书：对 $x_{k+1}=x_k+u_k$，取两步预测、$x_0=3$、$Q=R=1$、零终端成本与 $|u_k|\le 1$，目标是 $18+6u_0+2u_0^2+u_1^2$。计划 $(-1,0)$ 的梯度为 $(2,0)$，配上约束 $-u_0-1\le 0$ 的乘子二、其余乘子零，便满足全部条件，唯一最优值为 $14$。执行首项后必须重求解；本次 KKT 最优性与保证以后仍可行的终端条件，是两份需要分别核验的证书。