图 Laplacian

$Lx$ 在每个顶点比较本地取值与邻居取值：本地较高时向外形成正差，较低时形成负差。二次型把所有边上的差值平方并按权重累加，所以它测量沿图连接的不一致程度，而不是把每个顶点的绝对值大小简单相加。

因此，给同一连通部分所有顶点一起加上常数不会改变能量；断开成多块时，每块都可以选择自己的常数。零特征值的重数记录的正是这些独立的平移自由度。零权边虽然还可以留在组合边集中，却不对相邻取值施加任何能量约束。

三个顶点的完整计算 ​

对单位权路径 $1-2-3$，

向量 $(1,1,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 的特征值为 $0$，$(1,0,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 的特征值为 $1$，$(1,-2,1{)}^{\mathrm{\top }}$ 的特征值为 $3$。以 $x=(1,0,-1{)}^{\mathrm{\top }}$ 为例，两条边的平方差均为 $1$，总能量为 $2$；同时 $x^{\mathrm{\top }}Lx=x^{\mathrm{\top }}x=2$，两种算法一致。

若第二条边权重改成零，则

原画出的路径依然有两条组合边，算子却已经把第三个顶点与前两个分离。这是非负权图中“零特征值重数等于连通分量数”必须明确支撑图的原因。

边差矩阵把公式统一起来 ​

任意给每条无向边选一个方向，构造边—顶点矩阵 $B$：每行在选定起点填 $-1$、终点填 $1$，其余为零。令 $W$ 为边权对角矩阵，则

$Bx$ 正是逐边差值。翻转某条边的方向只会改变该行符号，两次相乘后符号消失，所以结果不依赖任选方向。这也证明零能量意味着每条正权边两端相等，再沿路径传递便得到核的分量刻画。

归一化与零度顶点 ​

若每个 $d_u>0$，常用归一化矩阵为 $\mathcal{L}=D^{-1/2}L{D}^{-1/2}=I-D^{-1/2}A{D}^{-1/2}$。允许零度顶点时，本条约定 $S_{uu}=d_u^{-1/2}$（$d_u>0$），否则为零，并定义

这样零度顶点对应的行、列及对角项都为零。把公式机械改写成 $I-SAS$，却会在那些对角位置得到 $1$，是另一种约定下的矩阵。归一化谱结论必须与选定的孤立点处理方式一致。

若允许负边权，半正定性也会失去。例如只有两个顶点且边权为 $-1$，二次型是 $-(x_1-x_2{)}^2$。非负权不是装饰性假设，而是能量解释和核证明的基础。

由实对称矩阵的有限维谱定理公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。，可取正交规范特征基。当 $|V|\ge 2$ 且 $G_{+}$ 连通时，在常数向量的正交补上展开便得第二小特征值的变分式：

这说明小特征值对应一种总变化很小、却不是全局常数的顶点函数。若图可被弱连接分成两团，在两团上取不同常数便可能产生这种向量。将它进一步换成具体割，需要谱扩张与 Cheeger 不等式公理库谱扩张与 Cheeger 不等式Cheeger inequality for graphs · Spectral expansion在固定归一化下，以 normalized Laplacian 的第二特征值刻画图的 conductance 瓶颈。中的归一化和体积条件；不能直接沿用另一矩阵的常数。

连续时间扩散 $x^{\prime }(t)=-Lx(t)$ 把取值沿边趋于均衡。因为 ${\mathbf{1}}^{\mathrm{\top }}L=0$，每个正权连通分量的总量保持；又有

在有限图中，正特征值方向逐渐衰减，最后留下各分量的平均值。按常见连续算子的符号约定，组合 $L$ 对应非负的 $-\mathrm{\Delta }$，扩散方程中的负号不可省略。

矩阵树定理则把任意一个删去同一行、列后的主子式行列式，解释为全部生成树的边权乘积之和。单位权时就是生成树数量；例如 $K_3$ 对应的 $2\times 2$ 主子式行列式为 $3$，与删去三角形任意一条边所得的三棵生成树一致。