Tychonoff 定理

积拓扑的基本邻域只限制有限多个坐标。每个坐标中的紧性分别给出候选极限，而任何一次邻域检验只需同时满足有限多个坐标条件；这正与滤子的有限交封闭相匹配。若允许一个基本开集同时限制无限多个坐标，这个有限协调机制便消失。

无限乘积的难点不是逐个因子本身，而是把无限多个局部选择组织成一个全局点。一般情形允许各坐标超滤子有多个极限，选择公理负责同时选出它们；Hausdorff 情形中的极限唯一，省去了这一步选择。

对任意指标集 $I$，

在逐点收敛对应的积拓扑下紧。更一般地，有限离散空间 $\{0,1\}$ 的任意幂 $\{0,1{\}}^I$ 紧；当 $I=\mathbb{N}$ 时，它给出 Cantor 空间的标准乘积模型。

积拓扑与 box 拓扑给出不同的结果。取可数乘积 $\{0,1{\}}^{\mathbb{N}}$，若每个因子取离散拓扑，则 box 拓扑允许同时指定每个坐标，因而整个乘积成为无限离散空间，不紧。相同集合在积拓扑下却紧。

连续投影也给出反向关系。若某个投影因子 $X_j$ 不紧且其余因子的乘积 $\prod _{i\ne j}{X}_i$ 非空，那么乘积若紧，其连续像 ${\pi }_j(X)=X_j$ 应紧，矛盾。

Tychonoff 定理支撑函数空间中的逐点收敛紧性、概率测度的乘积构造和泛函分析中的弱拓扑论证。它把每个坐标的有限可控性提升为无限维全局紧性，但所得拓扑通常比一致收敛或范数拓扑弱。

一个具体应用是Banach–Alaoglu 定理公理库弱星拓扑与 Banach–Alaoglu 定理Weak-star topology · Weak-* topology · Banach–Alaoglu theorem · 弱星拓扑 · 巴拿赫–阿劳格卢定理用紧乘积与闭线性约束证明对偶球的弱星紧性，构造可分原空间上的显式度量与收敛子列，并以 ℓ∞ 序列区分弱星、弱与范数收敛。。设 $X$ 为标量域 $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ 或 $\mathbb{C}$ 上的赋范空间，对每个 $x\in X$ 取紧集 $D_x=\{z\in \mathbb{K}:|z|\le \Vert x\Vert \}$（实数情形为闭区间，复数情形为闭圆盘），则 $P=\prod _{x\in X}{D}_x$ 紧。乘积点只是任意受界控制的读数表；施加全部等式

后才得到连续对偶的闭单位球。每条等式只涉及有限个连续坐标，因此定义闭集；所有等式的公共解集仍闭，故紧。等式保证线性，坐标界保证 $|a(x)|\le \Vert x\Vert$，从而保证连续性及对偶范数不超过一。有限坐标邻域又恰好对应弱星邻域，所以这里的乘积紧性确实成为对偶球的弱星紧性。