网格与网格剖分

网格把连续区域切成有限块，同时保留“块在哪里”和“块怎样相接”。规则方格像坐标纸，位置和邻居都能从行列号读出；非结构三角网格更像按地形裁剪的拼片，需要显式清单说明每块的顶点与邻居。

最大单元直径只回答最粗处有多粗，形状正则性回答单元有没有被压成针或薄片。两张网格即使拥有相同节点数和相同 $h$，也可能因最小角、边界贴合或局部尺寸分布不同而产生完全不同的插值误差和矩阵条件性。

局部加密的目标不是把所有地方都切细，而是把自由度放到解变化最剧烈或几何最复杂的位置。它节省未知量，却也使误差估计、数据结构和求解器必须面对一组 $h_K$，不能继续假设所有单元可由一个尺度代表。

一维计数与二维邻接 ​

对 $a<b$ 和正整数 $N$，区间 $[a,b]$ 的一维均匀网格取

节点有 $N+1$ 个，单元却是 $K_i=[x_i,x_{i+1}]$ 共 $N$ 个。这个最小例子已经说明“节点数”“单元数”和“网格尺度”是三个相关但不同的量；把 $h$ 直接写成 $1/(N+1)$ 会同时遗漏区间长度和计数约定。

正方形区域可以先用 Cartesian grid 划成小方格，再沿一致对角线把每格分成两个三角形。三角形邻接图适合生成稀疏耦合公理库稀疏矩阵表示与运算Sparse matrix只存非零项及其位置，以稀疏模式组织矩阵运算、图结构、重排序与填充成本。，而顶点坐标与仿射映射决定梯度、面积和积分权重。保持同一邻接图而移动一个顶点，离散图没有变化，单元角度和计算常数却会改变。

退化、局部加密与几何边界 ​

三角形顶点若为 $(0,0),(1,0),(1,\epsilon )$，则 $h_K$ 始终约为 $1$，内切圆半径却随 $\epsilon \to 0$ 趋于零，于是 $h_K/{\rho }_K\to \mathrm{\infty }$。面积为 $\epsilon /2$，半周长为 $(1+\epsilon +\sqrt{1+{\epsilon }^2})/2$，所以 ${\rho }_K=\epsilon /(1+\epsilon +\sqrt{1+{\epsilon }^2})\sim \epsilon /2$，从而 $h_K/{\rho }_K\sim 2/\epsilon$。拓扑没有变，常规各向同性误差估计的常数却可能恶化。专门的各向异性分析允许长边顺着解变化缓慢的方向延伸，此时高纵横比可能是有意设计，不能仅凭外形判为无效网格。

边界层解在靠近边界的窄区域内变化迅速，可以让该处 $h_K$ 远小于层宽，并在远离边界后逐级放大单元。这样的网格通常不是准均匀网格，但只要尺度过渡不制造退化单元，仍可保持形状正则。反过来，只增加边界附近节点而不检查角度，可能用更多自由度换来一排瘦长坏单元。

对圆形区域使用直边多边形时，${\mathrm{\Omega }}_h\ne \mathrm{\Omega }$；即使单元内部离散公式很高阶，边界位置和法向的近似仍可能主导总误差。几何验证至少应检查覆盖与重叠、单元方向、最小体积、非流形连接、边界标签和周期配对。发现翻转单元或缺失边界面时应停止装配，而不是让后续线性求解器替几何错误背锅。

方法接口与复现实验 ​

有限差分公式公理库有限差分公式Finite-difference formulas · Finite-difference stencil用邻近节点的函数值近似导数，并以矩条件推导差分权重、截断阶和边界公式。在规则节点邻域上给出导数权重；偏微分方程有限差分法把这些局部关系铺满网格。有限体积法更关心单元体积与公共面，有限元法则通过 reference element、物理映射和局部自由度建立离散空间。三类方法共享网格几何，却不会共享完全相同的未知量语义。

网格收敛实验应报告 $h=max{h}_K$、最小和典型局部尺度、单元数、自由度数、形状质量、边界表示以及加密规则。仅写“使用更密网格”无法判断误差下降来自尺度缩小、几何改进还是自由度布局改变，也无法复现离散化误差公理库离散化误差与截断误差Discretization error · Truncation error区分连续问题的离散缺陷与离散解的全局误差，并说明一致性为何不能单独保证收敛。随网格族变化的结论。

矩形谱网格可把两个一维算子按Kronecker 谱离散公理库张量积谱离散与 Kronecker 和Tensor product spectral discretization以明确的列向量化约定组装二维谱算子，并用不同轴尺度的算例检查 Kronecker 因子次序。组合。必须先固定哪个坐标变化最快、矩阵按行还是按列向量化，再放置两个 Kronecker 因子，才能保持网格方向与代数方向一致。