Galerkin 方法

图示采用对称强制双线性型 $a$；直角表示能量内积 $a(\cdot ,\cdot )$ 下的正交。

Galerkin 方法只在有限多个检验方向上要求平衡。离散残差通常不会逐点为零，但它对整个离散检验空间为零。随着空间扩充，新增方向会检测此前不可见的残差分量；收敛既依赖空间能否逼近真实解，也依赖连续和离散问题是否稳定。

在实空间且 $a$ 对称强制时，$u_h$ 还是能量泛函

在 $V_h$ 上的极小点。对流占优方程、鞍点系统或一般 Petrov–Galerkin 方法未必存在这种最小化解释，硬套能量图像会掩盖真正的 inf–sup 机制。

不依赖网格的一基函数例子 ​

考虑

精确解为 $u(x)=(x-x^3)/6$。取

并令 $u_h=c\varphi$。离散方程化为

两项积分分别为 $1/3$ 与 $1/12$，所以 $c=1/4$。强残差 $x+u_h^{″}=x-1/2$ 不逐点消失，但

即残差对所选检验方向正交。具体有限元还会要求基函数由网格单元和局部自由度构造。

若连续纯 Neumann 问题有常数核，离散矩阵的奇异性会忠实继承这一不唯一性。对鞍点问题，连续空间满足稳定条件也不保证任意离散空间对稳定；若离散 inf–sup 常数趋于零，可能出现伪压力模态。

数值积分、几何近似和 nonconforming 接口会使计算双线性型 $a_h$ 不再等于 $a$。误差除最佳逼近外还含一致性项，通常由 Strang 型估计组织。只检查离散方程残差为零，无法发现积分规则或几何映射已经改变了所解问题。

从插值误差推出一阶能量收敛 ​

现在选定一个具体空间，补上 Céa 估计中的最佳逼近项。考虑 $-u^{″}=f$、零端点条件，取任意划分 $0=x_0<\cdots <x_N=1$，令 $h_K$ 为单元长度、$h=\underset{K}{max}{h}_K$。$V_h$ 是连续分片一次、两端为零的函数空间；积分和荷载按连续问题精确限制到 $V_h$。假设精确解属于Sobolev 空间公理库Sobolev 空间Sobolev space同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。 $H^2(0,1)\cap H_0^1(0,1)$，定义节点插值 $I_{h}u$。

在 $K=[a,b]$ 上，插值斜率恰好是原导数的平均值：

令 $w=u^{\prime }$、${\overline{w}}_K=h_K^{-1}{\int }_{K}w$。利用一维绝对连续代表和 Cauchy–Schwarz 不等式，

第一步是对平均值应用 Jensen 不等式；第二步来自 $w(x)-w(y)={\int }_y^x{w}^{\prime }$ 与 $|x-y|\le h_K$。再对 $x$ 积分，得到

逐单元求和，并利用 Poisson 能量内积下的最佳逼近性质，便有

这里 $|v{|}_{H^1}=\Vert v^{\prime }{\Vert }_2$。该一维估计只使用最大步长，并不要求各单元等长，也不要求准均匀。它把“空间越来越丰富”变成了带明确常数、范数和正则性条件的收敛命题。

在这一维空间中，节点插值就是 Galerkin 解 ​

刚才的斜率平均还给出一个更强的特性。对每个单元 $K$，有 ${\int }_K(u-I_{h}u{)}^{\prime }dx=0$；而任意 $v_h$ 的导数在 $K$ 上为常数，所以

因此 $I_{h}u$ 满足与 $u_h$ 相同的离散方程，唯一性给出 $u_h=I_{h}u$。这对当前常系数一维模型的任意 $f\in L^2$、任意严格递增划分都成立，并不限于常荷载或均匀网格；它不表示单元内部的函数也已经精确。

一维残差后验估计公理库有限元残差后验估计Finite element residual estimator · Finite element a posteriori residual estimator从单元残差与斜率跳跃构造可计算指标，在一维模型中给出显式常数，再以二维准插值和泡函数证明可靠性与含振荡的局部效率。利用误差在每个单元端点为零这一事实，把局部 Poincaré 不等式变成可计算的能量误差界。自适应加密任务公理库自适应有限元的估计、标记与加密Adaptive finite element method · AFEM先复算一维局部加密，再在固定二维Poisson模型中证明估计量缩减、能量正交及加权收缩，并解释误差不变的边界加密例子。则利用同一正交结构分离离散误差与代数求解误差。变系数扩散或高维空间一般不再有上述节点插值恒等式，后验分析需要相应的其他工具。

对偶问题为何再提供一个 $h$ ​

记 $e=u-u_h$，引入零端点对偶问题 $-z^{″}=e$。它在本例中的 $H^2$ 正则性可以直接验证：取

于是 $z(0)=z(1)=0$、$z^{″}=-e\in L^2$，并且 $\Vert z^{″}{\Vert }_2=\Vert e{\Vert }_2$。分部积分、Galerkin 正交和刚才的插值估计依次给出

若误差非零，约去 $\Vert e{\Vert }_2$；误差为零时结论直接成立。因此

第一个 $h$ 来自原解的插值，第二个 $h$ 来自对偶解的插值。高维中的同类推导需要另行证明对偶问题的正则性，不能只沿用这个区间公式。当 $f=1$ 时 $\Vert u^{″}{\Vert }_2=1$，上界分别是 $h$ 与 $h^2$；有限元条目将算出精确误差 $h/\sqrt{12}$ 与 $h^2/\sqrt{120}$，展示这些阶确实达到。

有限元方法公理库有限元方法Finite element method · FEM · Finite element discretization从弱形式与帽函数出发，完整构造局部单元、组装并求解小系统，再用能量与逼近解释误差阶和边界处理。通过网格、局部多项式和自由度构造 $V_h$，是 Galerkin 框架的一种实现；谱方法可用全局基函数。“使用 Galerkin”不自动等同于“使用有限元”。

在已经给定的正定离散系统上，两网格粗校正公理库两网格粗空间校正Two-grid method · Galerkin coarse-grid correction从限制残差构造 Galerkin 粗系统，证明校正是能量正交投影，并用七节点链区分完全消除、能量下降与粗空间完全不可见。选择延拓矩阵 $P$，用 $P^{T}AP$ 和限制残差求粗误差。它在固定代数系统内实施同样的能量正交思想；粗校正是否有效与原 PDE 的离散误差大小是两项不同检查。

可复查的离散应报告 trial/test spaces、双线性型和右端泛函、连续与离散稳定条件、基函数以及误差范数。Céa 估计本身不给网格尺度阶；只有结合插值或其他逼近定理，才能得到 $h$ 的幂次。角点、界面或不连续系数造成的低正则性也会限制实际收敛阶。

对于时间依赖问题，可先用上述空间离散得到有限维演化系统，再由线法公理库线法：先空间离散再时间积分Method of lines · MOL · Semi-discretization in space先把 PDE 变为空间半离散 ODE，再分析时间推进、边界输入、刚性、质量矩阵和空间与时间误差的配合。组织时间积分；空间误差与时间误差应分别估计。

谱空间中也有不同的残差约束方式。谱配点法公理库谱配置法Spectral collocation method在全局插值空间中求导，并用内部配点和边界方程组成微分方程的离散系统。令节点残差为零，谱 tau 方法公理库谱 tau 方法Spectral tau method在系数空间保留低阶残差约束，以少量 tau 自由度容纳边界条件，并算出完整二次例子。则保留低阶残差正交条件、让少量高阶方向容纳边界约束。试探空间相近时，这种约束差异仍会产生不同离散系统。