变分形式与弱问题

形式陈述 ​

从强形式到弱形式 ​

设整数 $d\ge 1$，以有界 Lipschitz 区域 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^d$ 上的偏微分方程公理库偏微分方程Partial differential equation · PDE含未知多元函数及其偏导数的方程。 Poisson 问题为主线：

$$-\mathrm{\Delta }u=f\text{in }\mathrm{\Omega },u=0\text{on }\partial \mathrm{\Omega }.$$

强形式要求微分方程与边界条件具有逐点或经典迹意义。先取在 $\bar{\mathrm{\Omega }}$ 的邻域上定义的 $u\in C^2$、$v\in C^1$。对 $C^1$ 向量场 $v\mathrm{\nabla }u$ 使用散度定理的 Lipschitz 区域版本公理库散度定理Divergence theorem · Gauss theorem · Gauss–Ostrogradsky theorem区域内部散度的体积分等于其边界上向外法向通量的积分。，并展开 $\mathrm{\nabla }\cdot (v\mathrm{\nabla }u)=\mathrm{\nabla }v\cdot \mathrm{\nabla }u+v\mathrm{\Delta }u$，可得

$${\int }_{\mathrm{\Omega }}(-\mathrm{\Delta }u)vdx={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }u\cdot \mathrm{\nabla }vdx-{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}\frac{\partial u}{\partial n}vds.$$

在Sobolev 空间公理库Sobolev 空间Sobolev space同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。中取 $V=H_0^1(\mathrm{\Omega })$ 后，$v$ 在边界上的迹为零，边界项消失。弱问题写成：求 $u\in V$，使

$$a(u,v)=\ell (v)(\mathrm{\forall }v\in V),$$

其中

$$a(w,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\mathrm{\nabla }w\cdot \mathrm{\nabla }vdx,\ell (v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx.$$

这个改写把二阶导数转移到一次弱导数公理库弱导数Weak derivative通过分部积分恒等式相对于测试函数定义的广义导数。上，因此允许 $u$ 只属于 $H_0^1(\mathrm{\Omega })$。“弱”描述正则性和检验方式，不表示数值精度较低。足够光滑的弱解仍满足强方程；具有相应边界条件的强解也满足弱形式。

边界条件进入哪里 ​

对

$$-\mathrm{\nabla }\cdot (\kappa \mathrm{\nabla }u)+cu=f$$

若边界分成两个可测部分 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 与 ${\mathrm{\Gamma }}_N$，并给定

$$u=g_D\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_D,\kappa \mathrm{\nabla }u\cdot n=g_N\text{on }{\mathrm{\Gamma }}_N,$$

则试探集合和检验空间分别为

$$U_{g_D}=\{w\in H^1(\mathrm{\Omega }):\mathrm{tr}w=g_D\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\},V=\{v\in H^1(\mathrm{\Omega }):\mathrm{tr}v=0\text{ on }{\mathrm{\Gamma }}_D\}.$$

双线性型与右端为

$$a(w,v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}\kappa \mathrm{\nabla }w\cdot \mathrm{\nabla }vdx+{\int }_{\mathrm{\Omega }}cwvdx,$$$$\ell (v)={\int }_{\mathrm{\Omega }}fvdx+{\int }_{{\mathrm{\Gamma }}_N}{g}_{N}vds.$$

Dirichlet 条件限制可容许试探函数，通常称 essential boundary condition；Neumann 数据经分部积分自然进入右端，因此称 natural boundary condition。非齐次 Dirichlet 情形中 $U_{g_D}$ 是仿射集合而 $V$ 是线性空间，trial 与 test 不能不加条件地视为同一对象。

若经典超调和解满足 $\mathrm{\Delta }u\le 0$（例如 $-\mathrm{\Delta }u=f\ge 0$），在内部严格为正、指定边界点取值为零，且该点具有 $C^1$ 边界和内切球，解在该点具有连续的一阶导数，则对 $-u$ 应用Hopf 引理公理库Hopf 边界点引理Hopf boundary point lemma · Boundary point lemma在内切球接触的边界最大点，严格低于该最大值的次调和函数具有严格正的外法向导数。可得严格负的外法向导数。这项点态通量结论同时需要方程符号、正则性与几何，不能仅由弱形式自动推出。

要放入标准适定性框架，还需说明数据和系数条件。例如在有界连通 Lipschitz 区域上，可要求 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 具有正表面测度，$g_D$ 是某个 $H^1$ 函数的可容许迹，实值系数 $\kappa ,c$ 可测，并且几乎处处满足

$$0<{\kappa }_0\le \kappa (x)\le {\kappa }_1<\mathrm{\infty },0\le c(x)\le c_1<\mathrm{\infty }.$$

这些条件使齐次空间满足相应 Poincaré 不等式；若区域不连通，则每个没有反应项控制的连通分量都需要自己的 Dirichlet 约束。右端还需是 $V$ 上的连续泛函，例如 $f\in L^2(\mathrm{\Omega })$、$g_N\in L^2({\mathrm{\Gamma }}_N)$ 配合迹不等式即可。

先选 lifting $G\in H^1(\mathrm{\Omega })$ 满足 $\mathrm{tr}G=g_D$，再写 $u=G+w$，就把未知量 $w$ 放回齐次空间 $V$，求解 $a(w,v)=\ell (v)-a(G,v)$。若 ${\mathrm{\Gamma }}_D$ 为空、系数变号或数据没有所需迹，这条论证不能原样使用。

抽象适定性 ​

设 $V$ 是实Hilbert 空间公理库Hilbert 空间Hilbert space关于内积诱导范数完备的实或复内积空间。，双线性型公理库双线性映射与形式Bilinear map · Bilinear form对两个向量变量分别线性的映射；值域为标量域时称双线性形式。 $a:V\times V\to \mathbb{R}$ 满足连续性与强制性：

$$|a(w,v)|\le M\Vert w{\Vert }_V\Vert v{\Vert }_V,a(v,v)\ge \alpha \Vert v{\Vert }_V^2,\alpha >0.$$

连续性还意味着固定 $w\in V$ 后，映射 $v\mapsto a(w,v)$ 是 $V$ 上的有界线性算子公理库有界线性算子Bounded linear operator把有界集映为有界集，等价地连续的线性映射。。若线性泛函 $\ell$ 连续，Lax–Milgram 定理保证弱问题存在唯一解，并有

$$\Vert u{\Vert }_V\le \frac{1}{\alpha }\Vert \ell {\Vert }_{V^{\prime }}.$$

齐次 Dirichlet Poisson 问题中，Cauchy–Schwarz 不等式公理库Cauchy–Schwarz 不等式Cauchy–Schwarz inequality · 柯西–施瓦茨不等式内积的绝对值不超过两向量范数之积，且等号精确刻画线性相关。给出连续性，Poincaré 不等式使 $\Vert \mathrm{\nabla }v{\Vert }_{L^2}$ 控制 $H^1$ 范数，从而得到强制性。纯 Neumann Poisson 问题保留常数核；只有右端满足兼容条件后，才能在零均值子空间或模去常数的商空间中恢复唯一性。

Lax–Milgram 为什么成立 ​

将“对每个检验函数成立”的无限多个等式转换为一个 Hilbert 空间中的算子方程。由Riesz 表示定理公理库Hilbert 空间 Riesz 表示定理Riesz representation theorem for Hilbert spacesHilbert 空间上的每个连续线性泛函都唯一由与某向量取内积表示。，存在唯一的 $Tw\in V$ 与 $b\in V$，使

$$(Tw,v{)}_V=a(w,v),(b,v{)}_V=\ell (v).$$

表示的唯一性使 $T$ 为线性算子，连续性给出 $\Vert Tw{\Vert }_V\le M\Vert w{\Vert }_V$。另一方面，

$$\alpha \Vert w{\Vert }_V^2\le (Tw,w{)}_V\le \Vert Tw{\Vert }_V\Vert w{\Vert }_V,\Vert Tw{\Vert }_V\ge \alpha \Vert w{\Vert }_V.$$

因此 $T$ 单射，而且值域闭：若 $T{w}_n$ 收敛，则上述下界使 $w_n$ 为 Cauchy 序列；完备性给出 $w_n\to w$，连续性给出 $T{w}_n\to Tw$。

还需排除值域遗漏某个方向。若 $y$ 与 $\mathrm{ran}T$ 正交，特别取值域中的 $Ty$，便有

$$0=(Ty,y{)}_V=a(y,y)\ge \alpha \Vert y{\Vert }_V^2,$$

所以 $y=0$。对已经证明闭的线性子空间 $\mathrm{ran}T$，Hilbert 投影定理公理库Hilbert 空间投影定理Hilbert projection theorem · Projection theoremHilbert 空间中每个闭线性子空间都给出唯一的正交分解与最近点投影。给出 $V=\mathrm{ran}T\oplus (\mathrm{ran}T{)}^{\perp }$；正交补为零便得到 $\mathrm{ran}T=V$。于是 $Tu=b$ 有唯一解，这正是弱问题。最后取 $v=u$，

$$\alpha \Vert u{\Vert }_V^2\le \ell (u)\le \Vert \ell {\Vert }_{V^{\prime }}\Vert u{\Vert }_V,$$

得到所述解估计。整个证明没有用到 $a$ 的对称性；对称性是在下一节解释能量最小化时才需要的条件。

直觉

强形式在每个位置读取微分方程，弱形式则询问方程对所有允许检验方向是否平衡。分部积分把一个导数转移给检验函数，也把边界通量显式暴露出来。这个过程不是把方程含糊化，而是把内部平衡、边界条件和允许正则性放进同一个可检验陈述。

对上述线性双线性型框架，若 $a$ 对称且强制，则可用二次能量表述问题。此时

$$J(v)=\frac{1}{2}a(v,v)-\ell (v)$$

的唯一极小点是弱解。能量最小化也可处理非线性问题：直接法公理库变分法的直接法Direct method in the calculus of variations从有界极小化序列、弱极限和下半连续性证明极小点存在，以一维点值与三维紧嵌入分别完成四次势能的唯一弱解及精确算例。从含 $v^4/4$ 的凸能量得到 $-u^{″}+u^3=f$ 的唯一弱解，其存在性依靠弱紧性与下半连续性。对流占优方程、鞍点系统或一般非对称问题未必具有上述二次能量表述；此时真正控制适定性的可能是 inf–sup 条件。

例子与边界

在区间上逐项验证适定性 ​

取 $V=H_0^1(0,1)$、$\Vert v{\Vert }_V=\Vert v^{\prime }{\Vert }_2$，并令 $a(w,v)={\int }_0^1{w}^{\prime }{v}^{\prime }$。Sobolev 空间中的 Poincaré 证明已保证这确实是完备的范数。此时连续常数和强制常数均可取 $M=\alpha =1$。对于 $f\in L^2(0,1)$，

$$|\ell (v)|=\left|{\int }_0^{1}fv\right|\le \Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_2\le \frac{1}{\sqrt{2}}\Vert f{\Vert }_2\Vert v{\Vert }_V.$$

故唯一弱解满足 $\Vert u^{\prime }{\Vert }_2\le \Vert f{\Vert }_2/\sqrt{2}$。当 $f=1$ 时，直接积分 $-u^{″}=1$ 并施加两个端点条件，得到

$$u(x)=\frac{x(1-x)}{2},\Vert u^{\prime }{\Vert }_2=\frac{1}{\sqrt{12}}.$$

这个显式解既核对弱方程，也说明适定性上界无须等于精确范数。

纯 Neumann 条件的符号与兼容性 ​

考虑没有反应项的 $-\mathrm{\nabla }\cdot (\kappa \mathrm{\nabla }u)=f$，约定给定量是外向导数通量 $g=\kappa \mathrm{\nabla }u\cdot n$。此时检验空间包含常数 $1$，弱方程取 $v=1$ 得到

$$0={\int }_{\mathrm{\Omega }}fdx+{\int }_{\partial \mathrm{\Omega }}gds.$$

兼容条件中的加号来自弱形式右端的边界项；如果将物理通量定义为 $-\kappa \mathrm{\nabla }u$，所记边界数据的符号也随之改变。

在一维、$\kappa =1$ 时，若写成 $u^{\prime }(0)=q_0$、$u^{\prime }(1)=q_1$，左右外法向分别为 $-1$ 和 $1$，所以外向数据是 $g(0)=-q_0$、$g(1)=q_1$，条件成为

$${\int }_0^{1}f(x)dx=q_0-q_1.$$

零源项、零通量允许任意常数解；$f=1$、两端零通量则根本没有解。兼容性解决的是存在性，固定均值解决的是常数方向造成的不唯一性，二者是不同的问题。在有界连通 Lipschitz 区域、均匀正扩散系数和适当连续右端下，零均值 Poincaré 不等式使兼容问题在零均值子空间上恢复强制性。

弱解与正则性 ​

Lax–Milgram 给出的是所选空间中的解，并不自动把它升级为 $H^2$ 解。区间上的常系数 Poisson 方程可以从 $u^{″}=-f\in L^2$ 直接得到 $H^2$ 正则性；高维中这一步还依赖边界几何和系数正则性。凹角或系数界面可能让弱解存在唯一，而二阶导数仍不平方可积。椭圆内部正则性公理库椭圆内部正则性Interior elliptic regularity · 椭圆方程内部H2正则性对平方可积右端的Laplace弱方程，用能量截断和Fourier逆乘子证明内部二阶正则性，并以凹角奇性区分内部估计与全局边界估计。给出常系数 Laplace 情形的完整局部证明：能量截断控制一阶项，Fourier 逆乘子提升到内部 $H^2$；这项内部估计不包含全局边界正则性。

弱形式也不是唯一的。不同分部积分次数、边界数据处理或试探—检验空间会产生不同 formulation；声称两者等价时必须核对正则性与边界项。

推论与应用

连续弱问题适定并不保证任意离散空间稳定。Galerkin 方法公理库Galerkin 方法Galerkin method · Galerkin discretization在有限维试探与检验空间中离散连续变分问题，并用 Galerkin 正交、Céa 准最优性及稳定条件组织误差。还要选择有限维 trial/test spaces 并验证离散稳定性；有限元方法公理库有限元方法Finite element method · FEM · Finite element discretization从弱形式与帽函数出发，完整构造局部单元、组装并求解小系统，再用能量与逼近解释误差阶和边界处理。进一步把这些空间落实为单元、局部自由度、数值积分和稀疏装配。这个次序把连续建模、离散逼近和代数求解分开，避免用一张收敛曲线替代任何一层的条件。

参考资料

• Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations, 2nd ed., AMS, 2010，§6.2.1，Lax–Milgram 与二阶椭圆方程弱解。
• Alexandre Ern and Jean-Luc Guermond, Finite Elements, Texas A&M MATH 661 Fall 2025 课程讲义，第 25 章 Main results on well-posedness，§25.2 引理 25.2、例 25.4、定义 25.7 及其后的讨论、命题 25.8，分别对应适定性、Poisson 模型、非对称情形与能量极小化。