变分法的直接法

直接法先追踪越来越低的能量，再证明这些近似状态能够留下一个合法极限。它不要求提前解出 Euler–Lagrange 方程，也不从驻点自动推断极小点。四个环节各有职责：强制性防止序列逃向无穷，弱紧性提供子列，集合的闭性保住约束，下半连续性防止极限处能量突然向上跳。

强制性是获得有界极小化序列的一种充分条件。如果能够用其他估计直接找到这样的序列，证明仍然成立。文献也有把“子水平集具有相应序列紧性”称为 coercivity 的约定；本文的强制性专指能量随范数趋于无穷而趋于无穷，两种说法不能脱离所选拓扑互换。

带四次势能的零边界问题 ​

取Sobolev 能量空间公理库Sobolev 空间Sobolev space同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。

并给定实值 $f\in L^2(0,1)$。考虑

端点条件以迹解释；在这个区间上可使用唯一的绝对连续代表，因而 $v(0)=v(1)=0$ 有明确含义。由 $v(x)={\int }_0^x{v}^{\prime }(t)dt$，有

所以 $v^4$ 可积，$J$ 在整个 $V$ 上有限，且 $J(0)=0$。令 $t=\Vert v^{\prime }{\Vert }_2$，则

这同时给出下界与范数强制性。可行集合就是整个 $V$，因此弱序列闭性自动满足。

逐项验证弱下半连续性 ​

设 $v_n\rightharpoonup v$ 于 $V$。导数平方项是 $V$ 范数的平方，已经知道

对每个固定的 $x\in [0,1]$，映射 $v\mapsto v(x)$ 线性且满足 $|v(x)|\le \Vert v{\Vert }_V$，所以它是连续线性泛函。弱收敛因而给出 $v_n(x)\to v(x)$。将Fatou 引理公理库Fatou 引理Fatou's lemma非负可测函数列下极限的积分不超过积分的下极限。用于非负函数 $v_n^4$，得到

这里的评价泛函还可以精确量化：一维 Sobolev 点值估计公理库Sobolev 空间Sobolev space同时控制函数与弱导数的可积性，在一维中建立端点迹与能量空间，证明二分之一 Hölder 估计和点值泛函的精确范数，并说明高维边界。证明其能量对偶范数为 $\sqrt{x(1-x)}$，特别地 $\Vert v{\Vert }_{\mathrm{\infty }}\le \frac{1}{2}\Vert v{\Vert }_V$，中点帐篷取等号。当前存在性证明只需要有界性；最优常数则说明靠近零边界时点值受到了更强的约束，也把这一步与点源 Green 核联系起来。

最后，$v\mapsto {\int }_0^{1}fv$ 是连续线性泛函，其范数不超过 $\Vert f{\Vert }_2/\sqrt{2}$，故荷载项沿弱收敛实际收敛。两个非负项的下极限不等式与这一收敛合并，正好给出 $J(v)\le \underset{n}{lim inf}J(v_n)$。直接法于是产生极小点 $u\in V$。

导数平方项严格凸：对 $u\ne w$、$0<\theta <1$，

四次项凸，荷载项线性，所以整个 $J$ 严格凸，极小点唯一。这里用的是范数的平方严格凸；范数本身沿同一正射线可以取等号。

从极小点得到非线性弱方程 ​

固定 $v\in V$，展开 $J(u+\epsilon v)$。四次项是关于 $\epsilon$ 的多项式，所有系数都可积，因为 $u,v$ 都有界。标量函数在 $\epsilon =0$ 处取极小值，所以一次项为零：

这就是

的弱形式公理库变分形式与弱问题Variational formulation · Weak formulation通过检验函数与分部积分把强微分方程改写为低正则性空间中的连续弱问题，并明确边界条件与适定性。。三次项对未知量不线性，因此不能直接套用双线性型版本的 Lax–Milgram 定理。反过来，若 $u$ 满足该弱方程，凸性给出 $J(w)\ge J(u)+DJ(u)[w-u]=J(u)$，所以它就是唯一极小点。也可将两个弱解相减、用其差测试：

两项均非负，第一项迫使 $u=w$。因此这里得到的是唯一弱解，而不仅是某个极小点。

一个完整可复算的解 ​

指定

$u$ 两端为零，且 $-u^{″}+u^3=2+x^3(1-x{)}^3=f$。分部积分验证它满足上述弱方程，因而它就是直接法给出的唯一极小点。积分可逐项核对：

于是 ${\int }_0^{1}fu=2{\int }_0^{1}u+{\int }_0^1{u}^4=1/3+1/630$，最终

同一个数也可用弱方程取 $v=u$ 来检查：$\int fu=\Vert u^{\prime }{\Vert }_2^2+\int u^4$，所以 $J(u)=-\frac{1}{2}\Vert u^{\prime }{\Vert }_2^2-\frac{3}{4}\int u^4$。这同时检验了荷载符号、四次项系数和极小能量。

三维中用紧嵌入保存四次项 ​

现在取非空有界开集 $\mathrm{\Omega }\subset {\mathbb{R}}^3$，$f\in L^2(\mathrm{\Omega })$，仍研究同一种能量：

三维 Sobolev 嵌入与紧性公理库三维 Sobolev 嵌入与紧性Three-dimensional Sobolev embedding and compactness · 三维 Rellich–Kondrachov 紧性用三个方向的积分证明三维零边界能量控制六次可积性，再通过平移、光滑化和插值取得次临界强收敛，并用集中尖峰解释临界失效。给出 $\Vert v{\Vert }_6\le C_S\Vert \mathrm{\nabla }v{\Vert }_2$，从而

其中 $C_2=|\mathrm{\Omega }{|}^{1/3}{C}_S$、$C_4=|\mathrm{\Omega }{|}^{1/12}{C}_S$。第一式使 $\Vert \mathrm{\nabla }v{\Vert }_2$ 成为与 $H^1$ 范数等价的 Hilbert 范数；第二式保证四次积分在整个 $V$ 上有限。令 $t=\Vert \mathrm{\nabla }v{\Vert }_2$，则

并且 $t\to \mathrm{\infty }$ 时右侧二次式趋于无穷。因此下界和强制性成立。

若 $v_n\rightharpoonup v$ 于 $V$，紧嵌入给出 $v_n\to v$ 于 $L^4$。四次范数因三角不等式连续，故 $\int v_n^4\to \int v^4$。荷载项是 $V$ 上的连续线性泛函，梯度平方项弱下半连续，所以 $J$ 弱下半连续。直接法产生极小点；梯度平方项严格凸、四次项凸，给出唯一性。

固定 $w\in V$，展开 $J(u+\epsilon w)$ 时，每个四次混合项都可积，因为 $u,w\in L^4$。一次项必须为零，得到

其中 $u^3\in L^{4/3}$，与 $w\in L^4$ 的配对合法。这就是 $-\mathrm{\Delta }u+u^3=f$ 的零边界弱解。两个解相减并用差测试，得到梯度差的平方积分加上 $\int (u-v{)}^2(u^2+uv+v^2)=0$，从而两解相同。整个三维证明没有使用内部点值泛函，也没有假定弱收敛会逐点收敛。

单位立方体上的精确弱解和能量 ​

取 $\mathrm{\Omega }=(0,1{)}^3$，记 $a(t)=t(1-t)$，并令

这个多项式在六个面上都为零，并满足 $-\mathrm{\Delta }u+u^3=f$。为直接核实闭包定义，可在距边界 $\delta$ 的窄层内截断：函数在每个面附近至多与到该面的距离成正比，截断导数的 $1/\delta$ 因子因此被抵消；差函数及梯度的平方积分随层厚趋零。再作更细尺度的光滑化，便得到 $C_c^{\mathrm{\infty }}(\mathrm{\Omega })$ 的 $H^1$ 逼近，所以 $u\in H_0^1(\mathrm{\Omega })$。对光滑紧支撑测试函数分部积分，再以密度推广，验证它是刚才的唯一弱解。

所有三维积分都分解成一维积分：

因此

弱方程取 $w=u$ 给出 $\int fu=A+B$，于是最小能量为

也可直接积分 $fu$ 复核：三个二次荷载项各贡献 $2(1/6)(1/30{)}^2=1/2700$，相加为 $1/900$，再加上 $B$。同一计算同时检查了 Laplace 的三个方向、荷载符号和能量系数。

少掉下半连续性会怎样 ​

在实 ${\ell }^2$ 上定义

第二项是有界对角算子的二次型，所以 $F$ 范数连续；第一项保证范数强制性。对标准基有 $F(e_n)=1/n\to 0$，故下确界为零。然而 $x=0$ 时 $F(0)=1$，$x\ne 0$ 时第二项严格为正，因此零值从不取得。

失败恰好发生在弱下半连续性：$e_n\rightharpoonup 0$，但 $F(0)=1>\underset{n}{lim inf}F(e_n)=0$。范数连续和范数强制性在无限维里不能替代所需的弱下半连续性。

本例给出一条从能量到非线性弱解的完整路径：Sobolev 估计使能量有意义并控制极小化序列，弱收敛和 Fatou 保住非线性积分项，严格凸性给出唯一性，最后变分导数恢复方程。求导只在极小点已经存在之后使用，因此没有把“写得出驻点方程”误当成存在性证明。

维数决定保存非线性项的具体方式。一维可用连续的点值泛函再调用 Fatou；三维则用 $H_0^1$ 到 $L^4$ 的紧嵌入。一般维数与其他增长阶必须重新配平可积指数，不能把本页三维的四次势能计算直接移到任意情形。反身 Banach 空间也能使用同样的直接法结构，但其弱子列抽取与具体能量估计需要相应版本的定理。

另一条离散化路线是先近似每段作用量，再对有限维轨迹取驻点。变分积分器公理库变分积分器Variational integrator先离散作用量再取驻点，推导离散 Euler–Lagrange 更新、正则动量映射和对称性守恒。由相邻两段的端点变分导出更新，并把离散对称性与动量守恒联系起来；这是动力学构造，与直接法证明连续极小元存在的任务不同。