Householder 反射

Gram–Schmidt 一次去掉一个已有方向的分量，Householder 反射则选择一面镜子，让整根向量在一次变换后与坐标轴重合。镜子保持长度和夹角，所以在连续施加反射时，不会主动放大 $2$-范数误差；被“清零”的尾部也可以直接成为三角结构。

向量 $v$ 不是额外的大矩阵，而是这面镜子的法向。保存一串反射向量，就等于紧凑保存一个复杂正交变换；只有读者确实需要 $Q$ 的每个元素时，才值得把它们显式展开。

对 $x=(3,4{)}^{\mathsf{T}}$，取 $\alpha =-5$ 和 $v=x-\alpha e_1=(8,4{)}^{\mathsf{T}}$，得到

这里 $v^{\ast }v=80$、$v^{\ast }x=40$，秩一公式直接给出 $Hx=x-v=(-5,0{)}^{\mathsf{T}}$，不必先写出矩阵。反射保持 $\Vert x{\Vert }_2=5$，却一次消去了第二分量。若后续只需把 $H$ 作用到别的列，使用 $v$ 的秩一公式即可。

若 $x$ 已非常接近正的 $e_1$ 方向，却错误选择 $\alpha =+\Vert x{\Vert }_2$，则 $v=x-\alpha e_1$ 的首分量由两个近数相减得到，可能丢失大部分有效位；相反相位使其相加并保持可表示尺度。复数情形不能只取实数符号，还必须使用 $x_1$ 的相位，否则目标首分量与消去公式不一致。

还需区分代数公式和安全实现。输入为零向量时已经无需消去，应采用恒等变换；不能代入 $v=0$ 后计算 $0/0$。极大或极小分量也可能使直接求平方和溢出或下溢，因此范数与反射向量应使用缩放计算。精确的 $H$ 保范数，并不意味着浮点生成和应用 $H$ 毫无舍入误差。

反射不是任意旋转。实 Householder 矩阵的行列式为 $-1$，而纯旋转行列式为 $1$；两个反射的乘积才可能形成旋转。这个代数边界不妨碍它作为正交变换原语，却不能在几何描述中省略。

QR 分解理路QR 分解QR factorization · QR decomposition · Economy-size QR把长方矩阵分解为正交列与上三角因子，并区分经济型表示、数值算法和秩亏边界。逐列使用 Householder 反射，把每列对角线下方的整段向量清零。相同原语还用于 Hessenberg 化、双对角化与许多特征值、奇异值算法，因为酉变换既保留范数，又适合用紧凑向量实现。

Gram–Schmidt理路Gram–Schmidt 正交化Gram–Schmidt process把有限线性无关组逐步转化为张成同一子空间的正交规范组。仍是理解正交化与张成空间保持的直接方法；对于稠密数值 QR，Householder 通常提供更可靠的正交性。两种方法解决同一精确结构目标，却拥有不同计算图和舍入路径。

同一个实内积反射公式也能约束离散几何。有限结晶根系理路有限结晶根系与简单根Finite reduced crystallographic root system · 有限约化根系用反射稳定和整数配对约束有限向量集，构造正根与简单基，证明全部根的同号整数坐标，并给反射恢复和精确检验接口。要求一组非零法向在每个根反射下保持不变，并要求反射系数 $2(\alpha ,\beta )/(\alpha ,\alpha )$ 为整数。这里输入不仅是镜面，还保留法向长度；$B_3$ 与 $C_3$ 有同样的Householder反射，却有不同的根长数据。数值QR关注稳定地消去坐标，根系则用这份整性和有限闭包来认证反射词。