限制平均生存时间 | Codeboy's Blog

形式陈述

对非负事件时间 $T$ 和有限 $\tau>0$ ，定义

\mu(\tau)=E[\min(T,\tau)]=\int_0^\tau S(t)\,dt.

等式来自逐点恒等式 $\min(T,\tau)=\int_0^\tau\mathbf1\{T>t\}\,dt$ 。被积函数非负可测，由Tonelli 定理可以交换时间积分与期望，于是得到生存曲线面积。这里不需要完整平均寿命 $E[T]$ 存在，也不需要比例风险。

两组比较可用 $\Delta(\tau)=\mu_1(\tau)-\mu_0(\tau)$ 。若时间单位为月，则差值也为月，表示在这段共同窗口中平均多出的生存时间。它不等于两组中位数之差，也不描述 $\tau$ 之后的寿命。

直觉

生存曲线交叉、风险比随时间变化时，怎样给出一个仍有明确单位的总体比较？限定时间平均生存把问题固定在预先指定的观察窗：从开始到 $\tau$ ，平均能获得多少无事件时间？

例子与边界

某组的Kaplan–Meier 曲线在 $[0,2)$ 为 $1$ ， $[2,4)$ 为 $0.75$ ， $[4,5)$ 为 $0.50$ ， $[5,6]$ 为 $0.25$ 。取 $\tau=6$ ，则

\widehat\mu(6)=2\times1+2\times0.75+1\times0.50+1\times0.25=4.25.

另一组在 $[0,3)$ 为 $1$ ， $[3,6]$ 为 $0.50$ ，面积为 $4.5$ 。因此第一组的 RMST 差为 $-0.25$ 。第一组在 $2$ 到 $3$ 之间较差，却在 $3$ 到 $4$ 之间较好；面积把这些时段按实际持续时间累加，没有要求整条曲线谁始终更高。

对任意阶梯估计，列出从 $0$ 到 $\tau$ 的分段点 $0=t_0<\cdots<t_{m+1}=\tau$ ，计算 $\sum_{j=0}^m(t_{j+1}-t_j)\widehat S(t_j)$ 即可。事件时刻单点取左极限或右极限不影响积分，但对应整个区间的高度必须正确。

相邻时段的生存估计共享早期事件，因此相关。一个早期事件使之后全部阶梯高度改变。方差计算必须保留这种协方差结构；不能把每个矩形的方差当作独立项求和。

实践可使用生存曲线影响函数的积分，或在满足设计条件时按独立对象重抽样，重新估计曲线和面积。两组独立时，差值方差可加；若配对、集群或共享加权估计产生依赖，就需要保留相应结构。

假设所有人最多随访到 $4$ ，却报告 $\mu(10)$ 。从 $4$ 到 $10$ 的曲线没有被资料识别，面积需要外推模型。RMST 有“限定”二字，并不自动保证任何选择的上限都可靠；通常应让 $\tau$ 落在两组都有足够随访支持的范围内，并检查尾部在险人数。

若先看两组曲线，再挑选差值最有利的 $\tau$ ，就改变了检验选择过程。应预先确定有实际意义的窗口，或明确进行多时间点探索并处理相应不确定性。

推论与应用

RMST 避免了对固定风险比的依赖，但仍需要正确处理删失和进入。观察研究中的组间面积差也仍可能受混杂影响。竞争风险问题还要明确事件定义：对“首次任何事件”的生存曲线积分是无事件时间；对某个累计发生率积分则有另一种时间损失解释。

参考资料

Royston and Parmar, Restricted mean survival time: an alternative to the hazard ratio for the design and analysis of randomized trials with a time-to-event outcome, BMC Medical Research Methodology 13:152, 2013，RMST 估计目标与组间比较。
Klein and Moeschberger, Survival Analysis, 2nd ed., Springer, 2003，非参数生存估计及曲线积分的推断背景。