可蒸馏纠缠

一份带噪纠缠可能不适合直接使用，但许多份可以一起处理，把噪声和不确定性集中到部分系统，再丢掉它们，留下较少但更接近标准 Bell 对的资源。

定义同时要求产量线性增长和误差趋零。某个小概率分支偶尔产出高质量 Bell 对，不足以单独证明一个确定的正渐近率；成功概率与失败处理必须纳入完整协议。

纯态的产率可以直接计算 ​

若 $|\psi ⟩=\sqrt{0.8}|00⟩+\sqrt{0.2}|11⟩$，其纯态蒸馏率为约化态的von Neumann 熵公理库von Neumann 熵Von Neumann entropy · 量子熵 · 冯诺依曼熵von Neumann 熵是密度算子特征值分布的 Shannon 熵，用于定量区分状态混合程度、制备标签和纯联合态的局部相关性。，也就是 Schmidt 概率的二元熵：

这表示给定任意小的固定余量 $\eta >0$，足够多 $n$ 份输入可产生约 $n(0.721928-\eta )$ 个 Bell 对且误差趋零；不是每一份输入都能确定地产生 $0.721928$ 个物理 Bell 对。

可达方向可按类型测量理解。双方的 Schmidt 标签是相同的二进制串；Alice 只测其中 $1$ 的总数 $k$，并将结果通知 Bob。同一 $k$ 内每条串的振幅完全相同，条件态因而是维数 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 的最大纠缠态，其中二项式系数公理库二项式系数Binomial coefficientn 元集合的 k 元子集数，记作 C(n,k)。计数这些串。由大数定律公理库强大数定律Law of large numbers · Strong law of large numbers · SLLN独立同分布且可积时，样本均值沿几乎每条无限样本路径收敛到共同期望。，$k/n\to 0.2$ 依概率成立；类型大小的标准熵估计给 $n^{-1}{\log }_2(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})\to h_2(0.2)$。所以对任意 $0<\eta <h_2(0.2)$，以趋于一的概率，类型维数至少为 $2^{\lfloor n(h_2(0.2)-\eta )\rfloor }$。在这些分支上，Nielsen 主序条件公理库Nielsen 纯态纠缠转换定理Nielsen majorization theorem通过 Schmidt 概率向量的主序关系判定双边纯态能否确定地经 LOCC 转换。允许把较大的均匀 Schmidt 向量确定转成所需 Bell 对；其余分支输出任意固定态，完整输出的迹距离至多为这些分支的总概率，因而趋零。

这里的等幅性来自固定类型，不是说整个弱典型集的概率比趋于一。反向界引用纠缠熵的 LOCC 平均单调性及渐近连续性，限制可得 Bell 对数；连同上述可达方向给出所述纯态速率。

PPT 纠缠不能蒸馏 ​

PPT公理库正部分转置判据Positive partial transpose criterion · Peres-Horodecki criterion只转置一个子系统并检查谱的符号，得到可分性的必要条件及低维情形的完整判据。 性质在张量积与 LOCC 下保持。对任意 $d\otimes d$ 的 PPT 态 $\tau$，其与最大纠缠态 ${\mathrm{\Phi }}_d$ 的重叠满足

其中 $F$ 为交换算子且 $F⪯I$。因此测量 $\{{\mathrm{\Phi }}_d,I-{\mathrm{\Phi }}_d\}$ 已给迹距离下界 $1-1/d$，PPT 输出不可能逼近越来越多 Bell 对。于是所有 PPT 态的 $E_D=0$，包括高维的 PPT 纠缠态。

这个结论给出了“有纠缠但无法蒸馏”的严格例子。反方向在一般高维不能简单写成“非 PPT 就必能蒸馏”；相关问题需要额外条件。

可蒸馏纠缠直接衡量能够提取的标准传态资源。它与“制备原态需要多少 Bell 对”的纠缠成本方向相反，混态中两个速率可能不同；形成纠缠公理库形成纠缠Entanglement of formation在所有纯态系综分解中最小化平均纠缠熵，区分单份凸顶量与正则化后的制备成本。提供后者的重要上界与正则化描述。

Bell 态自身有 $E_D=1$；可分态有 $E_D=0$。判断一般混态的精确率往往很难，因此应区分一个具体协议给出的下界与真正等号。报告“某协议每份获得 0.1 ebit”只建立可达性，除非另有匹配上界。