CHSH 不等式

经典局域模型允许双方事先共享任意随机计划，但实验开始后自己的输出只能依赖自己的设置与那份计划。CHSH 检查四组设置的相关是否能由同一份计划同时解释。

证明经典界时，只需先看确定计划。固定四个预定答案 $a_0,a_1,b_0,b_1\in \{-1,1\}$，有

因为两个括号恰有一个为零，另一个为 $\pm 2$。随机计划只是这些数的平均，因此仍落在 $[-2,2]$。

一组达到量子上界的测量 ​

共享 $|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩=(|00⟩+|11⟩)/\sqrt{2}$。Alice 测Pauli 可观测量公理库Pauli 算子与 Pauli 群Pauli operator · Pauli group · Pauli string · 泡利算子 · 泡利群保留整体相位的 Pauli 张量积群，以二进制标签计算乘法、Hermitian 条件和对易符号。 $A_0=Z,A_1=X$；Bob 测

这些算子的特征值都是 $\pm 1$。Bell 态满足 $⟨ZZ⟩=⟨XX⟩=1$、$⟨ZX⟩=⟨XZ⟩=0$，故四个关联依次为

所以 $S=2\sqrt{2}$。四组相关必须分别在相应设置的重复实验中估计，不能在同一粒子上假设所有不对易测量都已有可同时读取的结果。

量子上界的机制 ​

对二值投影测量定义 Bell 算子 $\mathcal{B}=A_0\otimes (B_0+B_1)+A_1\otimes (B_0-B_1)$。展开平方并利用 $A_i^2=B_j^2=I$，得到

这里取Euclidean 诱导算子范数公理库矩阵范数与诱导算子范数Matrix norm · Induced matrix norm · Operator norm of a matrix用诱导范数和常用可计算矩阵范数度量线性映射的放大能力，并区分算子范数、Frobenius 范数与谱半径。。每个对易子范数至多 $2$，故 $\Vert {\mathcal{B}}^2\Vert \le 8$，从而 $|⟨\mathcal{B}⟩|\le 2\sqrt{2}$。一般二值POVM公理库正算子值测度（POVM）Positive operator-valued measure · POVM · 正算子值测度有限结果 POVM 是一组和为恒等算子的半正定效应算子，它通过迹公式规定各测量结果的概率。的差算子 $A=E_{+}-E_{-}=2E_{+}-I$ 为 Hermitian，谱位于 $[-1,1]$。由谱分解公理库有限维谱定理Finite-dimensional spectral theorem有限维复正规算子存在正交规范特征基；实数情形对应自伴算子。，在其特征基中独立选取符号 $s_i\in \{\pm 1\}$，令 $\text{Pr}(s_i=1)=(1+{\lambda }_i)/2$，便将 $A$ 写成满足 $D_s^2=I$ 的对角符号算子的凸组合。对四个本地可观测量分别这样展开，CHSH 期望成为投影测量情形的凸组合，故仍满足同一界。量子优势依赖不同设置间的不对易性。

纠缠、违规与传信 ​

对白噪声混合态 ${\rho }_p=p|{\mathrm{\Phi }}^{+}⟩⟨{\mathrm{\Phi }}^{+}|+(1-p)I/4$，上述测量给 $S=2\sqrt{2}p$，只有 $p>1/\sqrt{2}$ 才违规。它在 $p>1/3$ 已经纠缠，所以这组 CHSH 测量并不检出全部纠缠态。

双方在本地选择测量时，忽略 Alice 的结果后，Bob 的边缘态不变。因此违规不会让 Bob 单独读出 Alice 的设置；比较关联仍需要后来交换普通消息。设置独立性、有效检测及分离条件也是实验解释所需的假设。

CHSH 可用于设备无关的相关性检验：关注输入输出统计是否超出局域模型，而不先假设内部实现就是某个指定 qubit 电路。仅一次观测到几对一致答案不能证明违规；需要四组统计、误差分析及明确的实验假设。